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國小數學科教材教法分數的計算壹、分數的合成分解貳、分數的乘法參、分數的除法報告者:許鳳琪.陳靜儀壹、分數的合成分解一、數學結構延續學生對分數數詞的認識，協助學童使用算式記錄解題過程與結果，或使用算式填充題記錄文字題，建立分數加減算式的溝通工具。二、解題策略（一）親自參與具體活動（二）旁觀具體活動（三）透過錄影帶等動態媒體觀察具體活動（四）觀察具體物（五）觀看圖片或幻燈片等靜態平面媒體（六）用語言文字來描述具體活動（七）用語言文字描述其特性三、認知結構當學生已具備整數計算的經驗，預期學生能模仿或類推至分數加減問題的情境，因此可採下列的解題步驟：（一）算式摘要記錄：在進行幾個分數加法情境文字題成功解題之後，即可要求學生用算式摘要記錄來記錄此類的問題、解題活動方式和結果。（二）解題過程記錄：教師宜提醒學生隨時把「先算什麼，後算什麼記下來」，以利學生反省解題過程，並加速分數加法概念的形成。（三）問題記錄：因國小學生尚未了解抽象的分數問題，所以布題時不直接布「純分數的算式填充題」，而是讓所有的分數問題皆以「量的情境文字題」來呈現。四、分數合成分解的類型與問題解析（一）同分母分數的加法、減法1.用分數板操作。（例：+）2.用數線表示。（二）異分母分數的加法、減法1.藉分數板的操作，引起通分的需要感例：（1）+＝？+＝？（2）+＝？2.了解通分的功用及方法。3.運用同分母分數加減的方法解題。6463213161924361貳、分數的乘法•一、數學結構•延續第九冊第十、十一單元整數的分數倍的活動經驗，本單元以單位分數內容為整數個為範圍，引入乘數未知的整數分數倍問題，以及分數的分數倍問題；延續本冊第一單元的活動經驗，以單位分數內容為整數個為範圍，要求學童將一分數所指示的量，重新用指定分母的分數來加以描述，以建立約分或擴分活動的前置經驗。•二、解題策略64年版部編本是透過「連加」的方式來引入乘法算式，並將乘法視為加法的速算。這樣引入將造成乘法算式中的乘號「×」在分數乘法算式的困擾，例如「2×7＝14」是「2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＝14」的另一種記法，那當乘數擴充到分數時，例如「2×」應是幾個「2」相加呢？像這樣的引入方式將會造成學童學習分數乘法問題的障礙。目標導向的發展式數學課程同意82年版部編本的主張，以「單位量轉換」的觀點來引入乘除法問題。所謂「單位量轉換觀點」是指：同一種量的情境，可以選用不同的單位量來描述。整數乘法問題各種格式紀錄引入流程圖三、認知結構（一）「整數×分數＝整數」的乘數未知問題此類教材的意義，較分數乘以整數難以了解，乘數為整數時，可由連加導入用倍數的觀念來說明。但乘數為分數，尤其為真分數時，其積比被乘數小，則很難由此途徑去理解。學童在整數的乘法活動中就有處理倍的問題的經驗（約二年級），只是到目前為止，學童處理的都是整數倍的問題，因此學童可能會產生倍的問題的答案（積數），應該比被乘數大的印象。為了與學童的舊經驗相結合，因此在引入整數的分數倍問題時，本課程先讓學童處理整數的帶分數倍問題，然後透過將帶分數逐次減1的方式，討論整數的分數倍問題的題意。1.設計情況說明意義問題：如白糖1公斤40元，買2公斤、1公斤、1/4公斤、3/4公斤，各要多少元？買2公斤……..40×2買1公斤……..40×1買公斤……40×買公斤……40×2.討論算法：老師與小朋友共同討論,老師引導小朋友去思考414143433.用單位分數說明：(1)1公斤40元，買公斤，則不需要40元，只要40元的，所以40×就是40的，40的等於40除以4，因此40×=40÷4==40×(2)買公斤則要付3個公斤的價錢，所以40×=（40÷4）×3=×3=40×4.發現法則：整數乘以分數，用整數乘以分數的分子為積的分子，原分母為積的分母（甲×=）。414141414141440414344043乙丙乙丙甲4341（二）分數的分數倍問題例如：96個水餃裝一包，包的倍是多少包？此時，積數（）的單位分數為，其內容物為1個（整數個）。建議首先宜澄清分數倍的語意，延伸整數的分數倍活動經驗，可以在「12個李子裝一袋，把袋李子平分成4份，一份是多少個袋？」問題下，建立分數的分數倍問題的語意；當要解決單位分數的單位分數倍問題，例如：「12個李子裝成一袋，的倍是多少袋？」此階段的學童，可能最容易由內容物的觀點，來進行解題，(袋的李子有4個，4個的倍是1個，多少袋李子是1個？)125879635961313131413141部分學童可能嘗試由等分割份數的觀點來解題，袋是一袋平分成3份中的一份，袋的倍是把1份再平分成4小份後的一小份，一袋有3份，一份有4小份，一袋就有12小份，12小份中的1小份是教師宜注意，當學童知道的倍是一份再平分成4小份後的一小份時，可能忽略掉分配性地將每一份都平分成4小份的過程，而錯誤地認為一袋有6份，產生袋的錯誤解答，在此情境下，教師宜提醒：「是否每份都一樣多？」的等分割問題，協助學童察覺錯誤。可以利用1.由摺紙導入算法：從4×為4的的既習教材，說明分數乘以分數的意義，如×為的，×為的。再用摺紙的方法求出得數，最後導出計算的法則。313131313141414141212121214343121612.由圖示導入算法：先等分圖形，再畫斜線表示。3.由單位分數及交換律導入算法×=（×2）×（×4）=（×）×（2×4）=×（2×4）==4.發現法則：分數乘以分數，分子與分子相乘為積的分子，分母與分母相乘為積的分母（×=）5.分數乘法的統整：前述第一類及第二類的分數乘法，均可寫成分數乘以分數的形式，將算法予以統整。×3=×，40×=×3254315131515315342158甲乙丙丁丙甲丁乙4343134114041（三）真分數的整數倍問題教師教學之活動流程為：1.澄清單位分數數詞的意義2.嘗試解題3.要求學生以有分數的算式記錄解題過程4.用倍數的方式說明解題活動5.用有「╳」號的分數算式記錄解題活動。例題：1、由連加導入：×3是有3個。×3=＋＋====2、用單位分數說明：是3個3個有3個，共是9個，9個是，=×3==3、發現法則：分數乘以整數，用整數去乘分數的分子為積的分子，原分母為積的分母（×丙=）434149434343434349433343343414141494349433甲乙甲丙乙4124124.教學之注意事項：1.由於單位分數所指示的內容為多個獨立物，因此教師在活動進行中宜特別留意小朋友是否會混淆基準單位內的元素個數與份數。2.是否會混淆一份與一份內的個數。（四）整數的帶分數倍問題（積數是整數，學童自行解題）整數的帶分數倍問題而言，部分─全體運思學童主要是以「又幾倍」的策略進行解題，學童在解決整數倍部分後，可能採用「又幾分之一倍」的策略完成帶分數倍的解題活動，部分學童可能可以預期真分數倍是數個單位分數倍的合成，而採用單位量除以分母再乘以分子的方式，來解決真分數倍的部分。（五）帶分數的整數倍問題解題策略1.將帶分數視為整數和真分數的合成結果，分別求整數和真分數的整數倍後，再將結果合併為帶分數的形式2.透過「1」單位與單位分數單位的化聚活動，將帶分數轉換為假分數，再以單位分數為被計數單位，進行整數倍的活動，最後再將結果轉換為帶分數的形式。參、分數的除法一、數學結構延伸在整數範圍的除法經驗，將除數擴展至分數。延續第九冊交換問題的活動經驗，本單元進行分數對整數的對等問題，並且延伸本冊第六單元的活動經驗，使用比的符號，描述含一個分數項的對等關係。二、認知結構（一）公倍數問題。（二）在數段圖上解決倒數問題。（三）除數為分數的包含除問題。（四）對等問題。三、分數除法的類型與問題解析（一）分數除以整數（例：長公尺的一條帶子，等分成三段，每段長多少公尺？）1.由擴分倒入。2.由單位分數、除式與分數的關係，及分數乘以分數的算法導入。3.發現法則：÷丙＝×。甲乙54甲乙丙1（二）整數除以分數1.由操作導入算式。2.由觀察導入算法。3.發現法則：甲÷=甲×。（三）分數除以分數1.由操作導入算法。2.由觀察圖示及通分導入算法。3.由被除數與除數，同乘以一數，其商不變的推理導入算法。4.發現算法：÷=×。5.分數除法的統整：分數除以整數，及整數除以分數，均可化為分數除以分數的形式，將算法予以統整。丙乙甲乙丙丁甲乙乙丙丁丙