Ch 15.3 代数系统的同态与同构 15.4 同余关系与商代数 (1)

第三编代数结构115.3代数系统的同态与同构同态映射的概念􀂄同态映射定义􀂄同态映射分类􀂄实例􀂄同态映射的性质􀂄同态映射的合成仍旧是同态映射􀂄同态像是映到代数系统的子代数􀂄同态像中保持原有代数系统的运算性质第三编代数结构2同态映射的定义定义设V1=A,o1,o2,...,or,V2=B,o1′,o2′,...,or′是同类型代数系统，oi，oi′为ki元运算,i=1,2,…,r.函数f:A→B,对于所有的运算oi与oi′，xi,…,xki∈A,f(oi(xi,…,xki))=oi′(f(x1),f(x2),…,f(xki)),则称f为V1到V2的一个同态映射，简称同态.二元：f(xoiy)=f(x1)oi′f(x2),x,y∈A一元：f(oix)=oi′f(x),x∈A零元：f(a)=a′,第三编代数结构3称f(A),o1',o2',...,or'为A,o1,o2,...,or的一个同态象.其中f(A)={x|x=f(a),a∈A}B第三编代数结构4同态映射的定义（续）x1f(x1)x2f(x2)f(xki)xkiOi(x1,x2,…,xki)=Oi′(f(x1),f(x2),…,f(xki))…………ABf:A→Bf(Oi(x1,x2,…,xki))第三编代数结构5几点说明1.对于二元运算、一元运算、0元运算采用下述表示：f(x*y)=f(x)★f(y)f(△x)=△’f(x)f(a)=a’2.同态映射要对所有的运算保持等式，包括0元运算.例如则f不是V的自同态，因为不保持0元运算100,,,|,01000101010:,(),()000010001aVAAabRbaafAAffb第三编代数结构6同态映射的分类设V1=A,o1,o2,...,or与V2=B,o1′,o2′,...,or′，f:A→B是V1到V2的同态映射，按映射f的性质分为：􀂄单同态􀂄满同态V1∼V2􀂄同构V1≅V2按载体分：自同态,V1=V2综合：单自同态、满自同态、自同构第三编代数结构7同态映射的实例(1)V=Z,+,fc:Z→Z,fc(x)=cx,c为给定整数c=0,零同态(x∈A,f(x)=0)c=±1，自同构;其它c,单自同态(2)V=Z6,⊕,fp:Z6→Z6,fp(x)=(px)mod6,p=0,1,…,5,p=0,f0零同态;p=1,f1恒等映射，自同构p=2,f2={0,0,1,2,2,4,3,0,4,2,5,4},p=3,f3={0,0,1,3,2,0,3,3,4,0,5,3}p=4,f4={0,0,1,4,2,2,3,0,4,4,5,2}p=5,f5={0,0,1,5,2,4,3,3,4,2,5,1}自同构(3)推广到V=Zn,⊕,fp(x)=(px)modn,p=0,1,…,n-1,fp(x⊕y)=(p(x⊕y))modn=(px)modn⊕(py)modn=fp(x)⊕fp(y)第三编代数结构8同态性质同态的合成仍旧是同态同态像是映到的代数系统的子代数满同态映射（同态像中）保持原代数系统的下述性质：􀂄交换、结合、幂等、分配、吸收􀂄单位元、零元、逆元􀂄消去律不一定保持第三编代数结构9同态的合成仍旧是同态定理若f:V1→V2,g:V2→V3为同态映射，则g∘f:V1→V3也为同态映射.证：g∘f是从V1到V3的映射.任取V1,V2,V3中一组对应的运算o1,o2,o3,设均为k元运算.∀x1,x2,…,xk∈V1,g∘f(o1(x1,x2,…,xk))=g(f(o1(x1,x2,…,xk)))=g(o2(f(x1),f(x2),…,f(xk)))=o3(g(f(x1)),g(f(x2)),…,g(f(xk)))=o3(g∘f(x1),g∘f(x2),…,g∘f(xk))由运算的任意性，命题得证.推论代数系统的同构具有自反、对称、传递的性质.第三编代数结构10同态像是映到代数系统的子代数定理15.7设V1=A,o1,o2,...,or与V2=B,o1',o2',...,or'是同类型的代数系统，oi与oi′是ki元运算,(i=1,2,…,r),f:A→B是V1到V2的同态，则f(A)关于V2的运算构成代数系统，且是V2的子代数，称f(A)为V1在f下的同态像.证f(A)是B的非空子集.证明f(A)对V2中的所有运算封闭.(1)若V2有0元运算a′,则V1存在0元运算a,f(a)=a′.即a′∈f(A).(2)任意V2中非0元运算o′(k元运算),∀y1,y2,…,yk∈f(A)，存在x1,x2,…,xk∈A,令f(xi)=yi,i=1,2,…,k,则o'(y1,y2,...,yk)=o‘(f(x1),f(x2),...,f(xk))=f(o(x1,x2,...,xk))∈f(A).第三编代数结构11满同态保持原代数性质定理15.8设V1=A,o1,o2,...,or与V2=B,o1',o2',...,or'是同类型的代数系统，函数f:A→B是V1到V2的满同态，(1)V2中运算保持V1中相应运算的下述性质：交换、结合、幂等、分配、吸收(2)V2中保持V1中的单位元、零元、逆元，即ei为V1中运算oi的单位元,f(ei)是V2中运算oi'的单位元，θi为V1中运算oi的零元,f(θi)是V2中运算oi'的零元，运算oi含有单位元，x-1是x关于运算oi的逆元，则f(x-1)是f(x)关于运算oi'的逆元第三编代数结构12几点说明1.满同态条件重要.如果不是满同态，有关性质只能在同态像中成立.例如f不是满同态，将单位元映到f(A)的单位元，不是A的单位元.其他见书上例题15.22,15.23.2.消去律不一定保持.书上例题15.24,Z,⋅,Z6,⊗,f(x)=(x)mod610010001)1001(,000)00(,:,|00,1001,,fabafAAfRbabaAAV第三编代数结构13课堂练习V1=R,+,V2=R+,●,f:R→R+,f(x)=ax,a0,证明：f为V1到V2的同态映射.证明：x,y∈R,f(x+y)=ax+y=ax●ay,故，f为V1到V2的同态映射.第三编代数结构14第三编代数结构1515.4同余关系与商代数同余关系􀂄同余关系与同余类􀂄同余关系的实例商代数􀂄商代数定义􀂄商代数性质同态映射、同余关系与商代数之间的联系第三编代数结构16同余关系与同余类定义设V=A,o1,o2,…,or是代数系统，其中oi为ki元运算，关系∼为A上的等价关系，任取A上2ki个元素a1,a2,…,aki,b1,b2,…,bki,如果对于所有的j=1,2,…,ki,aj∼bj就有oi(a1,a2,…,aki)∼oi(b1,b2,…,bki)则称等价关系∼对于运算oi具有置换性质.如果等价关系∼对于V中的所有运算都具有置换性质，则称∼是V上的同余关系，称A中相关的等价类为同余类.第三编代数结构17同余关系与同余类（续）oi(a1,…,aki)b1a1oi(b1,b2,…,bki)Ab2a2bkiaki第三编代数结构18实例例V=Z4,⊕,有15个等价关系，用对应的划分表示.{{0},{1,2,3}}不是同余关系，1∼3,3∼3，但1⊕3∼3⊕3不成立.同理可以验证以下11个划分对应的也不是同余关系{{1},{0,2,3}}{{2},{1,3,0}}{{3},{1,2,0}}{{0,1},{2,3}}{{0,3},{1,2}}{{0},{1},{2,3}}{{0},{2},{1,3}}{{0},{3},{1,2}}{{1},{2},{0,3}}{{1},{3},{0,2}}{{2},{3},{0,1}}只有以下3个划分对应于同余关系：{{0},{1},{2},{3}}，{{0,1,2,3}}，{{0,2},{1,3}}恒等关系与全域关系都是同余关系.任何代数系统都存在同余关系.第三编代数结构19定义设代数系统V=A,o1,o2,…,or，其中oi为ki元运算，i=1,2,…,r.关系R为V上的同余关系，V关于R的商代数记作V/R=A/R,ō1,ō2,...,ōr其中A/R是A关于同余关系R的商集.定义运算ōi(i=1,2,…,r)为ōi([a1],[a2],...,[aki])=[oi(a1,a2,...,aki)].商代数定义A/R[a1]={a1,b1,…}[a2]={a2,b2,…}[aki]={aki,bki,…}ōi([a1],[a2],...,[aki])=[oi(a1,a2,...,aki)]第三编代数结构20例V=Z,·,·是普通乘法，R为Z上模3同余关系，∀x,y∈A,xRy⇔x≡y(mod3),R为同余关系。V关于R的商代数V/R=Z/R,⊙Z/R={[0],[1],[2]}∀[x],[y]∈Z/R,[x]⊙[y]=[xy(mod3)],V/R与Z3,×3同构Z3={[0],[1],[2]},×3为模3乘法。第三编代数结构21商代数的良定义性运算的良定义运算结果与参与运算元素的表示无关对于任意运算oi,设为ki元运算，aj∼bj,j=1,2,…,ki,则[aj]=[bj],j=1,2,…,ki,ōi([a1],[a2],...,[aki])=[oi(a1,a2,...,aki)]=[oi(b1,b2,...,bki)]=ōi([b1],[b2],...,[bki])第三编代数结构22商代数V/R保持V若干性质定理15.9设V=A,o1,o2,…,or,oi是ki元运算，R是V上的同余关系，V关于R的商代数V/R=A/R,o1’,o2’,…,or’,(1)若oi具有交换(结合、幂等)，oi’在V/R中保持该性质.(2)若oi对oj可分配，则oi’对oj’在V/R中可分配.(3)若oi,oj满足吸收律，则oi’，oj’在V/R满足吸收律.(4)V关于oi的单位元e,零元θ,则商代数V/R关于oi’的单位元[e],零元[θ].(5)若oi是V中含有单位元的运算,且x∈A关于oi的逆元为x-1,则V/R中[x]oi’的逆元为[x-1]=[x]-1.第三编代数结构23Th15.9注注消去律不一定保持.例Z,×有消去律，定义xRy⇔x≡y(mod4).商代数为V/R={[0],[1],[2],[3]},⊗.没有消去律.因为[2]⊗[0]=[2]⊗[2],但是[0]≠[2].第三编代数结构24同态、同余关系与商代数的联系同态映射导出同余关系商代数是原代数的同态像通过自然映射同态基本定理代数系统的同态像同构于它的商代数第三编代数结构25同态映射导出同余关系定理15.10设V1=A,o1,o2,...,or与V2=B,o1′,o2′,...,or′是同类型的代数系统，对于i=1,2,…,r，oi,oi′为ki元运算,函数f:A→B为V1到V2的同态映射，则由f导出的A上的等价关系为V1上的同余关系.证思路：1.定义等价关系∼.2.∼对于任意运算有置换性.1.等价关系的定义∀a,b∈A,a∼b⇔f(a)=f(b)2.//oi(a1,...,aki)∼oi(b1,...,bki)⇔f(oi(a1,...,aki))=f(oi(b1,...,bki))任取V1上的运算oi,(ki≥1)，对于任意的aj∼bj,j=1,2,…,ki,f(oi(a1,a2,...,aki))=oi′(f(a1),f(a2),...,f(aki))//f同态=oi’(f(b1),f(b2