CH 22 section 3 (高斯与斯托克公式)

寄语YoucannoteatyourcakeDonotworkhard,andhaveit.worksmart!第22章第一节、第一型曲面积分(或：对面积的曲面积分)第三节、高斯(Gauss)公式与斯托克(Stokes)公式曲面积分第22章本章内容：第二节、第二型曲面积分(或：对坐标的曲面积分)第四节、场论初步第3节高斯(Gauss)公式与斯托克(Stokes)公式一、高斯(Gauss)公式二、斯托克(Stokes)公式第22章本节内容：一、高斯(Gauss)公式定理21.3设空间闭区域V由分片光滑的闭曲V上有连续的一阶偏导数,SyxRxzQzyPddddddzyxzRVdddSyxRdd下面先证:函数P,Q,R在面S所围成,S的方向取外侧,则有(Gauss公式)Green公式Gauss公式推广高斯(1777–1855)德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德,牛顿并列的伟大数学家,他的数学成就遍及各个领域,在数论、级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创性的贡献,他还十分重视数学的应用,地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、曲面论和位势论等.他在学术上十分谨慎,代数、非欧几何、微分几何、超几何在对天文学、大恪守这样的“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.原则:返回2S3S1SVzyxyxD),,(yxRyxyxRdd),,(,),(:11yxzzS证明:(1)设,321SSSSzzRyxzyxzd),(),(21yxD),(2yxz),(1yxzSyxRddyxD2SzyxzRVdddyxdd1S3SyxRdd为XY型区域,),,(:22yxzzS则yxyxRdd),,(yxDyxD),(2yxzyxyxRdd),,(),(1yxz所以zyxzRVdddSyxRdd(2)若V不是XY–型区域,则可引进辅助面将其分割成若干个XY–型区域,故上式仍成立.正反两侧面积分正负抵消,在辅助面类似可证zyxyQVdddSyxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPVdddSxzQddzyxxPVdddSzyPdd三式相加,即得所证Gauss公式：例1.用Gauss公式计算其中S为柱面闭域V的整个边界曲面的外侧.解:这里利用Gauss公式,得原式=Vzyxzyddd)(Vzrrzrddd)sin((用柱坐标)zzrrrd)sin(dd30102029x3oz1y,)(xzyP,0QyxR及平面z=0,z=3所围空间思考:若S改为内侧,结果有何变化?若S为圆柱侧面(取外侧),如何计算?例2.利用Gauss公式计算积分其中S为锥面222zyx解:作辅助面,:1hzS,:),(222hyxDyxyx取上侧1(SSI1SSzyxd)coscoscos)(2220,21上在S介于z=0及z=h之间部分的下侧.1,SS记Shozyxh1S所围区域为V,则Vzyxzyxddd)(2yxhyxDdd2VzyxzyxIddd)(2利用重心公式,注意0yxVzyxzddd24hyxhyxDdd2421hhz022zzd4hShozyxh1S例3..dddddd)(2223SyxzxxzyzxzyxzxI设S为曲面21,222zyxz取上侧,求解:作取下侧的辅助面1:1zS1:),(22yxDyxyxI11SSSVzyxdddyxxdd)(2xyD)1(20d10dr202dcos1213zoxy121S1S用柱坐标用极坐标coscoscoszvyvxv在闭区域上具有一阶和二阶连续偏导数,证明格林(Green)第一公式Sd例4.设函数VuzyxdddSuVzyxdddxuyuyvzuzv其中S是整个V边界面的外侧.uPxvuQyvuRzv分析:zyxzRyQxPVdddSyxRxzQzyPddddddxv高斯公式222222zvyvxv证:令uP,xvuQ,yvuR,zv由Gauss公式得222222zvyvxvcoscoscoszvyvxvSuSd移项即得所证公式.yvzvxv斯托克斯(1819-1903)英国数学物理学家.他是19世纪英国数学物理学派的重要代表人物之一,其主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题的有效且一般的新方法,在1845年他导出了著名的粘性流体运动方程(后称之为纳维–斯托克斯方程),1847年先于柯西提出了一致收敛的概念.他提出的斯托克斯公式是向量分析的基本公式.他一生的工作先后分五卷出版.二、斯托克斯(Stokes)公式定理22.4设光滑曲面S的边界L是分段光滑曲线,LzRyQxPddd(Stokes公式)个空间域内具有连续一阶偏导数,S的侧与L的正向符合右手法则,在包含S在内的一证:情形1S与平行z轴的直线只交于一点,设其方程为yxDyxyxfzS),(,),(:为确定起见,不妨设S取上侧(如图).LsyozxnyxDC则有则LxPdCxyxzyxPd)),(,,((利用格林公式)yxyxzyxPyyxDdd)),(,,(yxyzzPyPyxDddSfzPyPySdcos,cos2211yxff,cos221yxyfffcoscosyfLSyozxnyxDC因此SzPyPxPSLdcoscoscosdSyPzPSdcoscosyxyPxzzPSdddd同理可证LyQdzyzQyxxQSddddLxRdxzxRzyyRSdddd三式相加,即得斯托克斯公式;情形2曲面S与平行z轴的直线交点多于一个,则可通过作辅助线面把S分成与z轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用Stokes公式,然后相加,由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立.注意:如果S是xoy面上的一块平面区域,则Stokes公式就是Green公式,故Green公式是Stokes公式的特例.证毕为便于记忆,Stokes公式还可写作:SRQPzyxyxxzzyddddddLzRyQxPddd或用第一类曲面积分表示:SRQPzyxSdcoscoscosLzRyQxPdddyxzyxxzzyzyxSddddddzxy111o例5.利用斯托克斯公式计算积分其中L为平面x+y+z=1被三坐标面所截三角形的整个解:记三角形域为S,取上侧,则边界,方向如图所示.Syxxzzydddddd利用对称性yxDyxdd323yxD例6.L为柱面与平面y=z的交线,从z轴正向看为顺时针,计算y解:设S为平面z=y上被所围椭圆域,且取下侧,利用斯托克斯公式得SISd0则其法线方向余弦coscoscoszyxzxyxy2oz2LxSzRyQxPudddd三、空间曲线积分与路径无关的条件定理22.5设G是空间一维单连通域,内在函数GRQP,,具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价:(1)对G内任一分段光滑闭曲线L,有0dddLzRyQxP(2)对G内任一分段光滑曲线L,LzRyQxPddd与路径无关(3)在G内存在某一函数u,使(4)在G内处处有zPxRyRzQxQyP,,),,(),,(000ddd),,(zyxzyxzRyQxPzyxu证:)1()4(由斯托克斯公式可知结论成立;)2()1((自证))3()2(设函数则xu),,(),,(0ddd1limzyxxzyxxzRyQxPx0limxxzyxuzyxxu),,(),,(xxxxxPxd1lim0),,(lim0zyxxpx),,(zyxP同理可证故有zRyQxPudddd)4()3(若(3)成立,则必有RzuQyuPxu,,因P,Q,R一阶偏导数连续,故有yxuyP2xQ同理zPxRyRzQ,证毕zyxyxzxzyLd)(d)(d)(与路径无关,并求函数zyxyxzxzyzyxuzyxd)(d)(d)(),,(),,()0,0,0(解:令yxRxzQzyP,,,1xQyP,1yRzQyPxR1积分与路径无关,zyxxy)(yxyd0zyxzd)(0zxyzxyxzyo),,(zyx)0,,(yx)0,0,(x因此例7.验证曲线积分思考与练习所围立体,判断下列演算是否正确?(1)yxrzxzryzyrxSdddddd333333vRd324R(2)yxrzxzryzyrxSdddddd333333vrzzryyrxxd33333331RyxzxzyzyxSdddddd33331Rvzyxd)(3222为S作业P2951(1)，(3),(5)3(1);4(1);7;900cosrn00rn备用题设S是一光滑闭曲面,所围立体的体是S外法线向量与点(x,y,z)的向径试证证:设S的单位外法向量为则coscoscosrzryrxSrSdcos31vd331V的夹角,积为V,