祁晓东-有效效用函数及其判据

有效效用函数及其判据祁晓冬＊（2002年7月27日初稿、9月8日改定）摘要本文确立了一个标准用以判断一个实值函数是否能被用来构造有效效用函数，即EUF。EUF是可以导出良性需求函数的直接效用函数的一个通用形式，它摒弃了传统经济理论中新古典效用函数强加于效用函数的一些不必要的约束，明确地将对部分商品消费的可满足性接纳为效用函数的一个正式的组成部分，从而大大地扩充了现有可用效用函数的家族。EUF概念的基础是“饱和定律”：具有局部不满足性偏好次序的消费者，在预算约束下的最优选择将不会超出有效区域的范围。有效区域是对每一个偏好次序唯一确定的消费集合的一个子集，其内任意点的任何要素都不超过其相应的饱和需求。有效效用函数只考虑偏好在其有效区域内的信息。经济文献杂志分类(JELClassification)：C600,D110关键词：饱和需求，有效区域，良性需求函数，新古典效用函数（NUF），有效效用函数（EUF）。＊北京科技报，通信地址：北京西城区大新开胡同3号，邮编：100009，电话:[phone]E-mail:[e-mail]1EffectiveUtilityFunctionandItsCriterionByXiaodongQi*Firstdraft:June27,2002Finalrevision:September8,2002AbstractThispapersetacriterionforareal-valuedfunctiontobeusabletoconstructaneffectiveutilityfunction(EUF),ageneralformofdirectutilityfunctionsthatarecapableofgeneratingsingle-valueddemandfunctionssatisfyingWalras’law.AEUFcanbeusedinplaceofaneoclassicalutilityfunction(NUF)withoutlosinganythingbutsomeuselessinformation,whichareunnecessaryrestrictionsimposedonautilityfunctioninthetraditionalconsumertheory.AEUFexplicitlyacceptssatiationconsumptionforsomebutallcommoditiesanormalpartofanacceptableutilityfunction,andthereforegreatlyenlargestheexistingfamilyofusableutilityfunctions.TheconceptofEUFisbasedonthelawofsatiation:underabudgetconstraint,theoptimalchoiceoftheconsumerwithalocallynon-satiatedpreferencewouldnevergobeyondtheeffectiveregion,auniquesubsetoftheconsumptionsetforeachpreferenceorder,inwhichnocomponentofanypointexceedsthecorrespondingsatiatedwant.AEUFonlytakesintoaccounttheinformationwithintheeffectiveregionofapreferenceorder.JELClassification:C600,D110Keywords:effectiveregion,satiatedwant,well-behaveddemandfunction,neoclassicalutilityfunction(NUF),andeffectiveutilityfunction*ThispaperisoriginallywritteninEnglish.TheauthorisreadytosendyouanEnglishversionatyourrequest.Address:No.3DaxinkaiHutongXichengDistrictBeijing100009,CHINATel:(8610)66129002E-mail:[e-mail]2(EUF).3§1.导言本文的目的是回答这样一个问题：给定一个实值函数，如何判断它是否有资格被用来构造一个能够导出良性需求函数(well-behaveddemandfunction)的效用函数。相关的研究可以追溯到效用函数的初创时期，然而在最近的半个多世纪以来却似乎很少再有人关注这一问题.(Arrow和Enthoven，1961，Hicks1946)。在现代消费者理论中，人们似乎已经达成共识，即一个可以接受的效用函数应当是一个连续可微的实值函数，它要么在整个消费集合内严格递增并严格准凹（比如CES函数）；否则在消费集合的内点上严格递增并严格准凹，而且所有边界上的点都不优于原点（比如Cobb-Douglas函数）。我们称这样的函数为新古典效用函数（NUF:neoclassicalutilityfunction，李子江，1995）。价格均衡理论要求需求函数是良性的：即单值并满足瓦尔拉斯定律1。虽然一个NUF足以保证导出的需求函数满足这一要求，然而其限制条件却远非必需。于是，很多良性效用函数（即那些不满足NUF限定条件，然而事实上能够导出良性或具有良好数学特性的需求函数的效用函数）被判定为不可用。结果是可用的效用函数的数量变得十分有限，除了CES和Cobb-Douglas函数之外几乎很难找到其它真正有意义的形式。问题的症结在于：要求效用函数在整个消费集合上严格递增完全排除了消费者对某些商品饱和需求点存在的可能性。然而在现代消费者行为理论中，不满足性的假定采用了一个相当弱的形式，即局部不满足(localnon-satiation)。这一假定只要求消费者对一种商品的需求具有不满足性(Takayama，1986)。为了消除这一不足，我们将重新引入有效区域的概念(effectiveregion，Allen1934)，它是消费集合的一个子集，其中任何商品的数量都不超过其相应的饱和需求(satiatedwant)。借助重新定义了的有效区域的概念，我们将证明：在一定的预算约束下，一个具有局部不满足偏好的消费者的最优选择不会超出其有效区域。这就是说，从代表了一个局部不满足偏好次序的效用函数导出的需求函数的值域是其有效区域的一个子集。为了方便起见，我们将此称为饱和1尽管光滑性或可微性通常也是一个必要条件，本文将完全忽略这一事实，部分是由于论文篇幅的限制，部分是由于它不是有效效用研究的必要成份。本文假定这一要求已经得到满足。相4定律（thelawofsatiation）。基于上述观点，我们在第4节定义了有效效用函数的概念（EUF:effectiveutilityfunction），它是可用效用函数的一个通用形式，其有效区域之外的特性将被完全忽略。EUF可以取代传统理论中的NUF的概念，它保留了NUF所具有的所有有用信息，但取消了NUF所强加的一些不必要的约束条件。然后，我们将给出了一个判据，用以判断一个函数是否可以被用来构造EUF。第5节，我们用两个例子来显示EUF的概念对确定一个良性效用函数的有效性。我们可以看到：EUF概念的引入不仅使一些被传统判据所排斥的效用函数成为名正言顺的可用效用函数的家族成员，而且使一些原本不可用的函数变得可用。§2.预备知识在下面的正文及附录中，我们将用到一些基本的概念和定理，尽管它们大部分属于常识性的内容，为了严格起见，我们还是将其不加证明地集中在本节。所有相关内容可参阅：Barten和Bhm(1982)，Debreu(1954，1959)，Mas-Colell(1985)，McKenzie(1957)，Mendelson(1962)，Rader(1963)，andTakayama(1986)，Jehle和Reny(2001)。定义2.1：如果定义在消费集合lX上的一个偏好关系“”满足下列条件：)(Xxxx‘(自反性)，),,(Xzyxandxyyzxz憫?(传递性)，(,)orxyXxyyx憫(完备性)，并且对于任意的xX，集合:xXxx‘和:xXxx相对于X是闭的(连续性)。则该偏好关系就被称为一个连续的偏好次序。说明：本文假定X有下界，并且是闭的和凸的。l表示l维欧基理德空间。l和l分别表示l的非负及严格正相限。定义2.2：令(,)pm、(,)Hpm及(,,)pm‘j分别表示预算集、预算超平面以及从偏好次序“”导出的需求集合。“p”和“m”分别表示价格夭量和消费者个人收入。我们有如下三个定义：关问题可参阅Mas-Colell(1985)。5(a)(,):pmxXpxm;(b)(,):HpmxXpxm;(c)(,,)(,):(,)pmxpmxpmxx憫j.定义2.3：令u为代表偏好次序“”的一个效用函数。如果对于任意一对(,)pm（p0并且m0），由“”导出的需求集合(,,)pmj‘内只存在唯一的元素(,)dpm，则:ldSX被称为由“”或u导出的一个单值需求函数。同时我们也说：“”或u导出(,)dpm。定义2.4：如果在Xx的任意小的邻域V内总是可以找到一个优于x的点，即存在Vz满足zx，则相应的偏好次序被称为在x是局部不满足的。定义2.5：如果()xySXxyxy（或()()xyuxuy‘）成立，则偏好次序“”（或效用函数u）在S是上严格递增的。说明：在上述定义中，xy表示()iiiIxy，(1,2,,)Il为指数集合，ix或iy分别代表x和y的第i个坐标分量。“)(Syx”表示“对于集合S内任意两个彼此不同的元素x和y”。定义2.6：定义在X上的一个偏好次序“”称为是严格凸的，如果下式成立：()((0,1))xySt(1)xytxtyy憪。定义2.7：:lf称为在凸集lS上是严格准凹的，如果下式成立：(0,1)xySt()()(1)()fxfyftxtyfy。如果()fx在lS的所有凸子集上严格准凹（S不一定是凸集），则称()fx在S上是严格准凹的。引理2.1：在定义2.7中，()fx在S上严格准凹的充分必要条件是加边海赛因矩阵H()Bx在任意xS都是负半定的，即(1)()0kkDx，（kI）其中111111()()()H()()()()()()0lBlllllfxfxfxxfxfxfxfxfx，111111()()()()()()()()()0kkkkkkkfxfxfxDxfxfxfxfxfx。定义2.8：我们称定义在X上的一个连续的偏好次序“”为一个新古典偏6好，如果它满足下列条件：(a)“”在X上严格递增并严格凸，否则(b)“”在intX上严格递增和严格凸并且满足()0xXx”。说明：intX表示X的内点，intXXX•表示X的下边界。同时在本文中:andABxxAxB•.定义2.9：代表新古典偏好的效用函数称为新古典效用函数。引理2.2：:lf为一个新古典效用函数的充分必要条件是：(a)f在X上严格递增并严格准凹，否则(b)f在intX上严格递增和严格准凹，并且满足()()(0)xXfxfu。说明：CES和Cobb-Douglas效用函数是两个典型的新古典效用函数，它们分别满足上述（a）、（b）两个条件。定义2.10：集合SX的闭包是