数学分析实数与数列极限-1-1

2020/1/26第一章实数和数列极限2008／09／24§1.1实数及相关知识2020/1/26无尽小数实数循环的无尽小数不循环的无尽小数1.实数的定义有理数无理数实际测量的模拟，便于比较大小.2020/1/26:表示成无尽小数可通过如下两种方法将x,0000.1210nnaaaaax,9999)1(.1210nnaaaaax有尽？,.1210nnaaaaax设,,,2,1,90niai.,00为非负整数aan2020/1/262.数轴o1.得形象化数之间的关系及运算变建立了一一对应全体实数和数轴上的点.的关系.,,,O数轴称此直线为时，此单位长度并且规定一个正向一个方向为指定原点作为如在一直线上确定一点)(实数的连续性2020/1/263.绝对值00aaaaa)0(a运算性质:;baab;baba.bababa)0(aax;axa)0(aax;axax或绝对值不等式:2020/1/264.区间是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点..,,baRba且}{bxax称为开区间,),(ba记作}{bxax称为闭区间,],[ba记作oxaboxab2020/1/26}{bxax}{bxax称为半开区间,称为半开区间,),[ba记作],(ba记作}{),[xaxa}{),(bxxboxaoxb有限区间无限区间区间的长度:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.2020/1/265.邻域.0,且是两个实数与设a).(aUo记作,叫做这邻域的中心点a.叫做这邻域的半径.}{)(axaxaUxaaa,邻域的去心的点a.}0{)(axxaUo,}{邻域的称为点数集aaxx2020/1/266.有理数均为整数0,,qpqpr)(四则运算封闭数域有理数全体组成一个表示有理数集我们用Q——)1(性质：qp1“在数轴上的位置”2020/1/26任意两个有理数之间还有有理数——（反复使用会如何？）构造1:构造2:22112rrrr)0,(cacdcadbabcdab设则r1r2r０)2(2020/1/26)3(:有理数的稠密性任意小||.,,rxtsQrRx那么取遍所有的整数如让固定正整数,,pq,1的区间长度为这些数把数轴分成一些qqp.1,,,0那一点找出代表等份把单位长度分成设qqqq思路：o12020/1/26.的程度数逼近到任意精确每一个实数都能用有理.1,小于任意预想的值以至于可以取得充分大由于qq,,pRx一定可以找到一个整数使得,1qpxqp.1||qqpx即:表明2020/1/26反证法和无穷递降法?:呢中所有的数都是有理数是否问题R.,,:1*就不是有理数那么不是完全平方数且设例nnNn证明：*,,Nqpqpn若不然，设,不是整数不是完全平方数知由qpnn2020/1/26mpqnqmpqp22,22nqp又由于)()(mpnqqmqpp,mqpmpnqqp即.,1,*qmqpmqmqpmNm使,1mpnqp记,1mqpq,,1*1qqNq且易见.,1*1ppNp且所以2020/1/26反复使用上述结论，332211qpqpqpqp限进行下去！是有限正数，不可能无由于qp,矛盾！2121,qqqppp其中2020/1/26Minkowski)Cauchy()(Bernoulli几何与算术平均（闵可夫斯基）柯西伯努利重要不等式2020/1/26作业习题1.16,8,9,10,12.习题1.26,7.