3.1.1函数的零点与方程的根

3.1函数与方程3．1.1方程的根及函数的零点阅读教材第86~88页，并回答问题：（1）函数零点的概念；（2）如何求函数的零点？（3）零点与函数图象的关系怎样？讲授新课对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.函数零点的概念：判别式方程ax2＋bx＋c＝0的根函数y＝ax2＋bx＋c的零点＞0＝0＜0二次函数的零点如何判定?对于二次函数y＝ax2＋bx＋c与二次方程ax2＋bx＋c＝0，其判别式＝b2－4ac.两不相等实根两个零点两相等实根一个零点没有实根0个零点方程f(x)＝0有实数根函数y＝f(x)的图象与x轴有交点函数y＝f(x)有零点探究2零点与函数图象的关系怎样？探究1如何求函数的零点？根据函数零点的定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根．因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．说明：321()22fxxxx（）；22()log(27).xfx（）例1.求下列函数的零点：解：（1）令32()220fxxxx2(2)(2)0xxx则(2)(1)(1)0xxx即121xxx或或得故函数的零点为－1，1，2.32()22fxxxx（2）令2()log(27)0xfx3x271x则即28x32故函数的零点为3.2()log(27)xfx【评析】(1)函数y=f(x)的零点、方程f(x)=0的根、函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程f(x)=0根的个数就是函数y=f(x)的零点的个数，亦即函数y=f(x)的图像与x轴交点的个数.(2)求函数y=f(x)的零点就是求方程f(x)=0的根；反之，求方程f(x)=0的根就是求函数y=f(x)的零点.探究3观察二次函数f(x)＝x2―2x―3的图象，如右图，我们发现函数f(x)＝x2―2x―3在区间[―2,1]上有零点.计算f(―2)f(1)的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间[2,4]上是否也具有这种特点呢？xyO12343124－1－2－2－1－3－4可以发现，(2)(1)0,ff函数2()23fxxx在区间(－2,1)内有零点1x，它是方程2230xx的一个根.同样地，(2)(4)0,ff函数2()23fxxx在(2,4)内有零点3x，它是方程：2230xx的另一个根.xyO12343124－1－2－2－1－3－4结论：如果函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)＝0,这个c也就是方程f(x)＝0的根.1．函数的零点是一个点吗？提示：函数的零点并不是指一个点，而是一个自变量x的值，它使得函数值y＝f(x)＝0，即方程f(x)＝0的根．2．在(a，b)上有零点,一定有f(a)·f(b)0吗？提示：不一定．这必须根据函数在(a，b)上的单调变化，如y＝x2在(－1,1)内有零点，但f(－1)·f(1)0.回答问题：3.连续函数y＝f(x)在区间[a，b]上有f(a)·f(b)＜0,说明f(x)在(a，b)上有唯一零点?提示：不一定．如图：baxyO若f(x)的图象在[a，b]上连续，且f(a)·f(b)0，则f(x)在(a，b)上必有零点；若f(a)·f(b)0，则f(x)在(a，b)上不一定没有零点．(2010年高考天津卷)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1)B．(－1,0)例2.C．(0,1)D．(1,2)解：∵f(x)＝2x＋3x在R上为增函数．且f(－2)＝2－2－6＜0，f(－1)＝2－1－3＜0，f(0)＝20＝1＞0，f(1)＝2＋3＝5＞0，f(2)＝22＋6＞0，∴f(－1)f(0)＜0，故函数f(x)在(－1,0)上有零点．B【点拨】说明函数的单调性,也就说明了函数零点的唯一性．互动探究1本例中，若函数改为f(x)＝(12)x＋3x，其零点所在区间如何？解：f(－2)＝(12)－2－6＜0，f(－1)＝(12)－1－3＜0，f(0)＝(12)0＝1＞0，f(1)＝(12)1＋3＞0，f(2)＝(12)2＋6＞0，∴f(－1)f(0)＜0，零点所在区间为(－1,0)．例3求函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点个数.(1)(4)ff4(ln42)解：∵函数f(x)＝lnx＋2x－6在定义域(0,)上图象连续不断且单调递增，且0∴函数f(x)＝lnx＋2x－6在定义域内只有一个零点.方法二：求函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点个数即是求方程lnx＋2x－6=0的解的个数，画图可知这两个函数图象只有1个交点.∴函数f(x)＝lnx＋2x－6零点只有一个.即求y=lnx和y=－2x＋6=0图象交点个数.课后作业1.教材92页，习题3.1A组第2题B组第三题2.做模块测评和课时作业，预习教材第89页~92页