数学分析实数与数列极限-1-5

§1.5单调数列2008／10／09有界收敛收敛有界╳√收敛有界？x1x2x3x1nxnx一、单调有界定理满足条件如果数列nx,121nnxxxx递增,121nnxxxx递减单调数列几何解释:AM定理1单调有界数列必有极限.:分析,}{是递增的而且有上界不妨设na用十进制数表示：将各项na.,.,.,.321333212232111rrrAaqqqAapppAa,3,2,1},9,,2,1,0{,,,ZirqpAiiii},{iA考察递增，有界由于,}{na.0并不随行的增加而改变，达到最大值行AN在可知}{nA某一,,,111，再考察第二列rqp行后是在第设01Nx,本列出现的最大的数,1行设出现在第N易见.01NN,......,,,重复同样的过程第五列第四列对第三列就会得到数,,,432xxx和相应的正整数.321NNN.}{.4321的极限就是数列下证naxxxxAa,0对,10..,*mtsNm取那么对所有的,mNn位上的整数部分和前man的数码.是一样的与a:因此.10||mnaa..lim321xxxAann即.)(333的极限存在式重根证明数列nxn例1证,1nnxx显然;是单调递增的nx,331x又,3kx假定kkxx3133,3;是有界的nx.lim存在nnx(舍去)),3(limlim21nnnnxx,321nnxx,31nnxx,32AA2131,2131AA解得.2131limnnx例2.,!是任意给定的实数此处的极限求数列anan.N,!||:*nnaxnn令解,||时则当an.1||1nnnxnaxx0.,}{且有下界数列是从某一项开始递减的因此nx.lim存在所以极限nnxx.00,1||1xxnnaxxnn得到两边令在,}{为无穷小所以nx.!也是无穷小从而nan例3.}{,N,1211*发散求证设nnanna证明:.}{,,}{发散即得如能证其无界严格递增易见nnaa有对下证之,:*Nkkkka21121161918151413121112kk212116116181814141211),1,0(,212121211kkk个.}{,}{发散进而得无界可见nnaa例4.}{,1,,1211*收敛求证设nnaNnna.}{,,}{收敛即得只须证有界严格递增易见nnaa证明:由于)12(1)2(115181714131211112kkka)2(2884422111kk11111)2(18141211k112112121211k.1222112111111k.......}{,}{,}{}{12从而也有上界可知递增而由是有上界的的子列表明nnnaaaan二、闭区间套定理2定理,N],,[*nbaInnn设321III并且.1nnII如果这一列区间的长度),(0||nabInnn.1含有唯一的一点那么交集nnI即：，唯一Rx0位于所有闭区间之中，使0x此时.limlim0xbannnn或：任何闭区间套必有唯一公共点.:证明,由区间的包含关系可知左端点组成的,}{递增数列na.}{递减右端点组成的数列nb.}{,}{11abbann有下界有上界并且:1知下面两个极限存在由定理.lim,limbbaannnn.),N(*banbann可见由于||0nnnIabab.的唯一性易知a).N(*nbbaann因此有不等式:由此式可得.,)(0||banIn可知由,N*成立对此时nbaann).N(*nIan即.:1nnIa由此得到注意:.不可去闭,3,2,1,1,0nnIn设区间例如,1321nnIIIII),(01||nnIn.1nnI但是交集0,0,2,1111byaxyxyyxxnnnnnn例5证明nnnnyxlimlim证明:⑴11nnyx首先：⑵nnnnnnnnxxxxyxxx,021nnnnnnnnyyyyyxyy,02221⑶nnnnxyxy111nnnnnxyxyxy22211211,0)(11limnnnxy.limlimnnnnyx即构成闭区间套作业(数学分析习题集)习题1.5A1；2；3；5；6.