衍射习题

16.1在单缝衍射中，为什么衍射角越大的那些明条纹的亮度（光强）就越小？答：屏幕中央O点明条纹，对应=0的衍射角．在这个衍射方向上，单缝处波阵面上各点到O点的光程相同，各点在O点产生的光振动同相位．它们在O点相干相长，亮度最大．至于其它各级明条纹，衍射角越大，单缝边缘光束在该方向上的光程差越大，因而可划分的半波带数越多，每一半波带面积越小．奇数个半波带中，只有一个半波带在P点的振动不被抵消．光振动振幅与面积成正比，半波带面积越小，在P点产生的光振动振幅越小．因此衍射角越大，对应的明条纹亮度越小．16.2用平行绿光（＝546纳米），单缝宽a＝0.1毫米，紧靠缝后放一焦距为50厘米的会聚镜，试求位于透镜焦平面处的屏幕上中央零级条纹的宽度．单缝衍射中央零级亮斑的半角宽度为a因此，中央零级明条纹的线宽度为：).(46.55001.0105462226mmfafl解16.3在单缝衍射实验中，如果缝宽等于入射单色光波长的１倍，10倍，100倍，分别计算其中央明条纹的半角宽．计算结果说明什么问题？解中央亮条纹的半角宽度为，则,sina.sin1a当a=时，,21sin1中央衍射极大遍布单缝后整个空间;,739.5101sin01,593.01001sin01上面的讨论说明：单缝缝宽越小，衍射越烈，中央衍射极大的角宽度越大；单缝缝宽越大，衍射越不明显，当缝宽比波长大很多时，衍射消失，屏幕上形成单缝的几何像．当a=10时，当a=100时，中央衍射极大角宽度变得很小;衍射消失，屏幕上形成狭缝的几何像.16.4用632.8纳米红色平行光垂直照射在一单缝上，测得第一级暗条纹对应的衍射角为50，试求单缝的宽度．解单缝衍射中，暗条纹位置满足.sinak第一级暗条纹满足,sina故单缝缝宽为.1026.75sin108.632sin306mma16.5波长500纳米的平行单色光，垂直照射到宽度a=0.25毫米的单缝上，紧靠单缝上放一凸透镜．如果置于焦平面处的屏上中央零级条纹两侧的第二暗条纹之间的距离是2毫米，试求透镜的焦距．,22sin1aa第二个衍射极小的衍射角为解单缝衍射中，衍射极小对应的衍射角满足.sinakk中央零级条纹两侧的第二暗条纹之间的距离为,22fl可计算得透镜的焦).(25.010500225.0122262mallf16.6观察白光形成的单缝夫琅和费衍射图样，若其中某一光波的第三级明纹中心和波长＝600纳米的第二级明条纹中心相重合，试求白光中所包含的这种光波的波长．分别按下列两种方法给出的公式计算：（１）菲涅尔半波带法；（２）振幅矢量图法．解在这个衍射方向上，单缝边缘光束的光程差为.sina（１）菲涅尔半波带法：.)12(21sinka各级衍射极大满足a屏幕（２）振幅矢量法：nm6.4281上式中，k为衍射极大的级次．在个衍射方向上，同时出现１的第三级和２的第二级衍射极大，因此.2/)122(2/)132(21已知２=600nm，代入上式求出屏幕上夫琅和费单缝衍射光强公式为.sin220uuII,sinau式中是单缝边缘光束在方向的光程差．当47.3,46.2,43.1,0u时，光强取得极大值．１的第三级明纹与２=600nm的第二级在同一衍射方向上,因此有解方程(1)和(2)得.46.210600sin6a,47.3sin1a.4.4251nm(1)(2)16.7一单色平行光垂直照射在单缝上，紧靠缝放置一凸透镜，在其后焦平面上观察衍射图样．若做如下单项变动，则衍射图样将怎样变化？（１）单缝在垂直于缝方向上的平移；（２）单缝在垂直于光轴的平面内转动；（３）单缝加宽或变窄；（４）单缝沿透镜光轴方向平移．答（１）单缝在垂直于缝的方向上平移，衍射图样不变．这是由于透镜的作用，使具有相同衍射角的光线，会聚在屏幕（焦平面上）同一点．这点的位置不会因单缝的横向移动而变化．（２）单缝在垂直于光轴的平面内转动，衍射图样也随着在垂直与光轴的平面内转动．（３）单缝加宽，各级明条纹中心靠拢，条纹变窄；单缝变窄，各级明条纹向两边扩展，条纹变宽．（４）衍射图样不变．16.8迎面驶来的汽车上，两盏前灯相距1.2米，试问汽车离人多远的地方，眼睛恰好可分辨这两盏灯？夜间人眼瞳孔直径为5.0毫米，入射光波长500纳米．（仅考虑人眼瞳孔的衍射效应）解人眼圆形瞳孔的衍射为圆孔衍射．根据瑞利判据，人眼最小分辨角为：.22.1mind22.1minminDdDl如图所示，两车灯相距Ｄ=1.2米，当人眼恰可分辨两车灯时，车灯距离人眼BABAminminlＤ).(6.9831050022.152.16m16.9如图所示，有两光源点间隔为6.0毫米，放置在离透镜L＝50米处，在屏幕E上所形成的像恰好能分辨，已知透镜的焦距是20厘米，试问在屏幕上爱里斑的直径是多少？解物点距透镜L=50米，透镜焦距f’=20厘米，Lf’，可以认为该系统成像在焦平面上．若两光源在屏幕上的像恰可分辨，则屏幕上两爱里斑中心间距恰为爱里斑的半径．由图可知,'fLAB所以爱里斑的直径为).(108.420050100.622223'mmfLABDL'fBA16.10设紫外显微镜的数值孔径为0.9，所用波长为＝253.7纳米，试问它所能分辨最小间距是多少？).(1072.19.0107.25361.0sin61.046mmuny解nsinu为显微镜的数值孔径，最小分辨间距：解已知显微镜物镜放大率＝10，数值孔径nsinu=0.25，光波波长=550纳米，可分辨得两物点最小间距为16.11一生物显微镜，物镜的标号为10×0.25，即物镜放大率为10，数值孔径为0.25；光波波长以500纳米计算，试问可分辨的最小间隔时多大？目镜物方焦平面上恰可分辨两物点的爱里斑中心间距是多大？).(1034.125.01055061.0sin61.069muny).(1034.11034.11056'myy这样的两物点经物镜成像在目镜物方焦平面上，两几何像点为恰可分辨的两爱里斑中心．所以爱里斑中心间距为16.12若要是照相机感光胶片能分辨1.22微米的最小间距，光波波长为500纳米，则要求（１）底片每毫米能分辨得线条数为多少？（２）照相机得物镜的相对孔径D/f必须大于多少？解因为感光胶片分辨的最小间距1.22微米，所以每毫米分辨的刻痕数为)/(8201022.1101101633毫米条y照相机每毫米分辨的线条数'22.11fDN求得相对孔径.55.0108201055022.122.139'NfD16.13用夫琅和费衍射实验测定光栅常数．用氦氖激光器的红光（=632.8纳米）垂直照射光栅，测得第一级明条纹出现在38o的方向上，试求这光栅的光栅常数是多少？一厘米内有多少条狭缝？第二级明条纹的衍射角是多大？解（１）衍射光栅第一级明条纹满足dsin=，其中=380因此光栅常数).(1003.138sin108.632sin69mdo（２）一厘米内的狭缝数：)./(97301003.101.016厘米条dcmN（３）因为.123.11003.1108.63222sin69d所以第二级明条纹不出现．16.14用白光垂直照射在平面投射光栅上，光栅刻线密度为5000条／厘米，试问在第四级光谱中可观察到的最大波长是多少？解已知刻线密度，可求光栅常数．).(102500010162md由光栅方程可知，第四级可观察到的最大波长为kdsin).(500490sin40nmddm第四级可观察到的最大波长为500纳米．16.15用钠黄光（纳米）垂直照射一平面透射光栅，得第三级谱线的衍射角为10011’，而用未知波长的单色光垂直入射，其第二级谱线的衍射角为6012’，求此未知波的波长．3.589解由光栅方程钠黄光的第三级谱线满足,3.58931110sin0d未知光满足,2216sin0d.sinkd(1)(2)解(1)、(2)两方程，求得未知光波长.540nm16.16波长为600纳米的单色光垂直入射在一光栅上，第二，第三级明条纹分别出现在衍射角满足与处，第四级缺级，试问：20.0sin30.0sin（１）光栅相邻两缝的间距是多大？（２）光栅狭缝的最小可能宽度a是多大？（３）按上述选定的a,d值，是列出屏幕上可能呈现的全部级数．解（１）由光栅方程.10622.09md600nm的第二级明条纹满足,sinkd解得光栅相邻两缝的间距.1066md（２）第四级缺级，说明该方向上的干涉极大被衍射极小调制掉了，因调制掉的干涉极大级次为k=4时，取k＝１，得到狭缝最小宽度.105.146mda'kadk（３）取sin=1.0，得.10dk所以有可能看到的最大级次为±9．又由于±４，±８级缺级故屏幕上可能呈现的全部级次为0，±1，±2，±3，±5，±6，±7，±9．16.17试证明：当光栅的透光与不透光部分相等时，所有的偶级次的谱线都不存在（除零级外）解调制干涉主极大的级次为''2kkadk因为光栅透明部分与不透明部分相等，即d/a=2，所以k=±2，±4，…偶数级次的谱线，被单缝衍射k=±1，±，…极小调制掉了．16.18一光源含有氢原子和氘原子的混合物，发射中心波长＝656.3纳米的双红线，波长间隔=0.18纳米．若能用一光栅在第一级光谱中将这两条谱现分辨出来，光栅的刻痕数目至少是多少？解光栅色分辨本领，.kNR).(364713647条kRN所以光栅得刻痕至少是要在第一级分辨＝632.8纳米附近、波长间隔=0.18纳米的两谱线，要求分辨本领.364718.03.656R16.19用白光（波长从400纳米到700纳米）垂直照射在每毫米500条刻痕的光栅上，光栅后方一焦距f=320毫米的凸透镜，试求在透镜焦平面处光屏上第一级光谱的宽度是多少？解光栅每毫米有500条刻痕，光栅常数,002.05001毫米d由光栅公式，可求出白光中400纳米和700纳米两波长的第一级干涉主极大的衍射角kdsin,537.112.0sin10002.0104001sinsin013911400dk.487.2035.0sin10002.0107001sinsin013911700dk第一级可见光谱角宽度为20.4870-11.5370=8.950=0.1562弧度．光栅后面正透镜焦距为320毫米，因此第一级光谱的线宽度为).(501562.0320mmfl16.20用水银蒸汽放电的光照明，正入射到一总宽W=2.54厘米的光栅上，光栅上总共有800条刻痕，求蓝光谱线（纳米）8.435（１）在第三级光谱中的角色散．（２）在第五级光谱中的分辨本领．（３）第五级光谱能分辨得最小波长间隔．解（１）光栅总宽2.54厘米，共有800条刻痕，光栅常数.10175.38000254.05mNWd在第三级光谱中,04118.010175.3108.43533sin59d角色散)./1(1046.936.2cos10175.33cos59nmdkDok（２）第五级的分辨本领.40008005kNR（３）第五级光谱能分辨得最小波长间隔).(109.040008.435nmR解得.36.2016.