8.5一元线性回归案例1

2020/1/26郑平正制作8.5一元线性回归案例（一）高二数学选修2-3数学必修３——统计内容1.画散点图2.了解最小二乘法的思想3.求回归直线方程y＝bx＋a4.用回归直线方程解决应用问题问题1：正方形的面积y与正方形的边长x之间的函数关系是y=x2确定性关系问题2：某水田水稻产量y与施肥量x之间是否有一个确定性的关系？例如：在7块并排、形状大小相同的试验田上进行施肥量对水稻产量影响的试验，得到如下所示的一组数据：施化肥量x15202530354045水稻产量y330345365405445450455复习变量之间的两种关系自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。定义：1）：相关关系是一种不确定性关系；注3）：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图。2）：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析；现实生活中存在着大量的相关关系。如：人的身高与体重；产品的成本与生产数量；商品的销售额与广告费；家庭的支出与收入。等等那么两个具有相关关系的量可以用什么来刻画它们之间的关系？案例1海牛是一种体型较大的水生哺乳动物，体重可达到700kg，以水草为食。美洲海牛生活在美国的佛罗里达洲，在船舶运输繁忙季节，经常被船的螺旋桨击伤致死。下面是佛罗里达洲记录的1977年至1990年机动船只数目x和被船只撞死的海牛数y的数据。年份1977197819791980198119821983船只数量x447460481498513512526撞死海牛数y13212416242015年份1984198519861987198819891990船只数量x559585614645675711719撞死海牛数y34333339435047现在问：（1）随着机动船的数量的增加，被撞死的海牛数是否会增加？（2）当机动船增加到750只，被撞死的海牛会是多少？显然，在这个案例中，被撞死的海牛数是随机数，无法与机动船只数建立函数关系。画出这组数据的散点图：0102030405060400450500550600650700750图8－5－1发现这些点分布在一条直线的附近，且有上升的趋势。那么第一个问题的回答就需要知道被撞死的海牛数与船只的数量的密切程度，引入相关系数。(2)当xyr0，我们称ix和iy正相关；(3)当0xyr，我们称ix和iy负相关；(4)当0xyr，我们称ix和iy不相关。用xs表示ix的标准差，ys表示iy的标准差，定义yxnyxyxyxsnnxy2211定义相关系数：(1)当0yxss，称yxxyxysssr为ix和iy的相关系数；化简xyr得xyxyxysrss理论可以证明相关系数xyr有以下性质:（1）xyr总是在区间]1,1[中取值；（2）当xyr8.0时，x增加，y也倾向于增加，这时数据),(,),,(),,2211nnyxyxyx（分散在一条上升的直线附近（3）当xyr8.0时，x增加，y倾向于减少，这时数据),(,),,(),,2211nnyxyxyx（分散在一条下降的直线附近1222211niiinniiiixynxyxnxyny相关关系的测度（相关系数取值及其意义）-1.0+1.00-0.5+0.5完全负相关无线性相关完全正相关负相关程度增加r正相关程度增加yxxyxysssr根据以上公式，我们可以解决案例一的问题。解：（1）首先画出案例一相应的散点图：0102030405060400450500550600650700750年份1977197819791980198119821983船只数量x447460481498513512526撞死海牛数y13212416242015年份1984198519861987198819891990船只数量x559585614645675711719撞死海牛数y34333339435047iixiyiiyx2ix2iy1447135811199809169246021966021160044134812411544231361576449816796824800425655132412312263169576651220102402621444007526157890276676225855934190063124811156958533193053422251089106143320262376996108911645392515541602515211267543290254556251849137115035550505521250014719473379351696122095.567x，43.29y247521141iiiyx46185971412iix40561y141i2i代入公式，利用计算器得到9415.0xyr，则ix和iy高度正相关，因此，被撞死的海牛数会随着机动船数的增加而增加。例1在7块并排、形状大小相同的试验田上进行施肥量对水稻产量影响的试验，得到如下所示的一组数据：(单位kg）施化肥量x15202530354045水稻产量y330345365405445450455x10y203040453525153003504004505002）检验相关系数r的显著性水平：i1234567xi15202530354045yi330345365405445450455xiyi49506950912512150155751800020475x=,y=,712iix=,712iiy=,71iiiyx=30399.37000113272587175r=7171222271)7)(7(7iiiiiiiyyxxyxyx=)3.39971132725)(3077000(3.3993078717522≈0.9733这说明水稻产量与施化肥量之间高度正相关存在线性相关关系.（四）巩固练习现对x、y有如下观测数据：X24568Y3040506070（1）画出散点图；（2）求出x与y的相关系数（五）课堂小结通过本节课学习，我们学习了相关性的几个基本概念与定义、相关系数的计算方法。由于计算数据较为复杂，在求相关系数时，最好列出表格，使数据一目了然，便于计算。六、布置作业课本P95习题111（1）—（2）补充题：1．某种产品的广告费支出x与销售额y(单位:百万元)之间有如下对应数据:(1)画出散点图;(2)判断广告费支出与销售额之间是否高度线性相关。x24568y3040605070