第1讲 期望效用函数理论与单期定价模型

1第1章期望效用函数及风险度量众所周知，在经济学中，效用函数是偏好的定量描述，投资人决策的依据。金融学是不确定性的环境中进行决策，金融资产的价格和收益都是随机变量，我们如何确定它的效用，是必须解决的重要问题。期望效用函数理论是von-Nenmann和Morgenstren创立的。期望效用函数是对不确定性的环境中，对于各种可能出现的结果，定义效用函数值，即von-NenmannandMorgenstren效用函数，然后将此效用函数按描述不确定性的概率分布取期望值。本章首先介绍期望效用函数理论。然后在此基础上研究投资者的风险偏好以及风险度量，昀后介绍单期定价模型。1.1序数效用函数期望效用函数是基数效用函数，为研究基数效用函数，我们首先介绍序数效用函数，所谓序数效用函数，只要求效用函数值与偏好关系一致，即如果消费者认为商品x比商品y更受偏好，我们定义的序数效用函数，就要求x的效用函数值比y的效用函数值大。假设商品选择B是n维欧式空间Rn中的凸集。我们首先引入偏好关系感念。1.1.1偏好关系设B是n维欧氏空间nR中的凸集，在B中引入一个二元关系记为“”，如果它具有（1）（反身性）若Bx∈，则xx（2）（可比较性）若Byx∈,，则xy或者yx；(3)（传递性）若Bzyx∈,,，如果xy，yz则xz。我们称“”是一个偏好关系。上述的二元关系我们可以如下理解，若Byx∈,，xy我们认为x比y好，或者x不比y差。若xy与yx同时成立，则x和y偏好无差异，记为x～y。若xy但yx不成立，则x严格地比y好，记为yx。21.1.2字典序我们给出一个偏好关系的例子，设选择集()[)[){}∞∈∞∈=,0,,0,2yxyxB容易验证2B是2R中的凸集，在2B上，定义二元关系如下：若()211,Byx∈，()222,Byx∈，如果21xx，或者21xx=，21yy≥，定义()()2211,,yxyx。下面验证上述的二元关系是一偏好的关系：①若()2,xyB∈，因为x=x,y=y,按定义(),xy(),xy，即反身性成立。②若()11,xy，()222,xyB∈如果12xx，按定义，()()2211,,yxyx反之，如果12xx，则()()2211,,xyxy如果21xx=，12yy按定义则()()2211,,yxyx如果21xx=，12yy，则()()2211,,xyxy，即可比较性成立。③设()11,xy，()22,xy，()33,xy∈2B若()11,xy()22,xy()33,xy显然13xx≥，如果13xx按定义，()11,xy()33,xy如果13xx=，此时123xxx==因为()11,xy()22,xy所以，12yy≥又()22,xy()33,xy，所以，23yy≥于是13yy≥，于是()11,xy()33,xy，即传递性成立。1.1.3效用函数设B是具有偏好关系“”的选择集，+→RBU:的单值函数，如果Byx∈,，)()(yUxU≥当且仅当xy，则称U为效用函数。这里R+是全体非负实数构成的集合。显然，效用函数是偏好关系的一个定量描述，效用函数数值的大小与偏好关系相一致，这样我们就可以按函数的大小昀为选择的依据。为了在具有偏好关系的商品选择集B上定义与偏好关系一致的效用函数，需要B上的偏好关系3具有如下3条性质1.1.4偏好关系的三条重要性质性质1（序保持性）对任意B,∈yx，yx，及[]1,0,∈βα，()[]()[]yxyxββαα−+−+11当且仅当βα。性质2（中值性）对任意Bzyx∈,,，如果xyz，那么存在唯一的()1,0∈α使()zxαα−+1～y性质3（有界性）存在Byx∈**,，使对任意Bz∈，有**yzx≺≺性质3是为了证明效用函数存在定理更方便，性质1和性质2是重要的，并不是所有具有偏好关系都是有这三条性质。字典序具有性质1但不具有性质2证明：首先证明字典序具有性质1必要性若()211,Byx∈，()222,Byx∈，()()2211,,yxyx，()1,0,∈βα，则根据向量运算法则，()()()()()()()()()22122121212211,1,1,1,yyyxxxayyxxyxyx+−+−=−+−+=−+ααααααα()()()()()()()()()22122121212211,1,1,1,yyyxxxyyxxyxyx+−+−=−+−+=−+ββββββββ若()()()()()()22112211,1,,1,yxyxyxyxββαα−+−+则必有βα，因为，若βα=，必有()()()()()()22112211,1,,1,yxyxyxyxββαα−+−+～4若βα，则由于21xx≥，则有()()()121221221xxxxxxxxαααβ+−=−+≤−+()()()121221221yyyyyyyyαααβ+−=−+≤−+所以()()()()()()22112211,1,,1,yxyxyxyxββαα−+−+≺矛盾，故必有βα。充分性设βα。根据字典序的定义，可能有如下两种情况，12xx，或12xx=21yy分别证明如下（1）若12xx，则()()221221xxxxxx+−+−βα结论成立。（2）若21xx=，21yy，则()()221221xxxxxx+−=+−βα，()()221221yyyyyy+−+−βα所以()()()()()()22112211,1,,1,yxyxyxyxββαα−+−+下面证明字典序不具有性质2取()11,yx，()22,yx，()33,yx2B∈，且321xxx=，32yy，根据字典序定义此时()()()332211,,,yxyxyx，对任意()1,0∈α，我们有()()()3311,1,yxyxαα−+=()()()3211,1,yxyxαα−+=()()1213[1,1]xxyyαααα+−+−5因为10α，21xx，有()()2221211xxxxxx+−=−+ααα所以()()()()113322,1,,xyxyxyαα+−，因此不存在()1,0∈α使得()()()3311,1,yxyxαα−+～()22,yx这说明字典序不具有性质21.1.5序数效用函数存在定理定理1.1设选择集B上的偏好关系“”具有1.1.4中的性质1～性质3，则存在效用函数U:BR+→使得1.xy当且仅当)()(yUxU2x～y当且仅当)()(yUxU=证明：由性质3，存在Byx∈**,使对任意Bz∈，有**yzx如果**yx～，此时对任意Bz∈，有**yzx～～，我们定义czU=)(（常数）。此时，定理显然成立。若**yx，对任意的Bz∈，因为B存在偏好关系，只有三种情况：情况1、当*xx～时，定义1)(=xU情况2、当*yx～时，定义0)(=xU情况3、当**xxy时，性质1，存在唯一的()1,0∈α使x()**1xyαα+−～，此时我们定义α=)(xU这样，我们完成了效用函数的构造性定义。61.首先证明xy当且仅当)()(yUxU必要性设xy①如果**xxyy～，此时)(xU=1，由于**xyy，则存在唯一()1,0∈α使()**1yxyαα+−～，按定义，)(yU=α1，所以)(xU)(yU当**xxyy～，此时，按定义)(yU=0，由于*1*yzx，则存在唯一()1,0∈α使()**1xyxαα+−～，此时)(1zU=α0，即)(xU)(yU成立。②如果**xxyy，则存在1α，2α，使()**111xyxαα+−～，按定义)(xU=1α，()**221xyyαα+−～，按定义)(yU=2α，由性质1，由于xy，必有1α2α，故)(xU)(yU充分性假设已知,xyB∈，且)(xU)(yU，往证xy。①若1)(=xU，2)(α=yU()1,0∈此时()**111xxy+−～，()**221yxyαα+−～，由于2α1，由性质保序性，xy。②当)(xU=1，)(yU=0时，按定义**xxy～～y，故xy。③若)(xU=1α()1,0∈，)(yU=0此时()***010yyxy=+−～，()**111xxyαα+−～，由于1α0，所以xy。④若1)(xU)(yU0，此时令1α=)(xU，2α=)(yU，由U的定义，()**111xxyαα+−～，()**221yxyαα+−～，因为1α=)(xU)(yU=2α，由性质1，必有xy，2.证明xy∼当且仅当)(xU=)(yU必要性，任取,xyB∈，设xy∼，往证)(xU=)(yU，若不然，()()UxUy≠。不妨设()()UxUy，结论1，此时xy，此与xy∼矛盾。充分性，若()()UxUy=，而xy∼不成立，此时有两种可能：xy，或者yx，7有结论1，必有()()UxUy≠，矛盾，所以xy∼，证毕。设U是效用函数，函数RRG→:是正值严格单调增加函数，容易证明复合函数RB→:UG也是效用函数。注1由效用函数的构造定义，可见序数效用函数不是唯一的，但是都具有如下性质，()()UxUy的充要条件是xy；()()UxUy=的充要条件xy∼，即效用函数与偏好关系是一致的，效用的大小是两个选择比较而言的，效用函数的取值大小并不重要。注21.1.4中的性质1和性质2，对于序数效用函数的存在性起着十分关键的作用，前面我们已经证明了字典序具有性质1，但不具有性质2我们可以证明在字典序2B上，不存在序数效用函数。若不然，如果存在2B上的效用函数U，使得，如果()()2211,,yxyx则1222(,)(,)UxyUxy，任取[0.1]x∈,显然（x，1）(x,0),于是(,1)(,0)UxUx设(,0)Ux=xα，(,1)Ux=xβ，则(,)xxαβ是一开区间如果xy，根据字典序定义（x，1）（x,0）(y,1)(y,0)于是xβxαyβyα。故（yα，yβ）与（xα，xβ）是互不相交的开区间，令T：x→（xα，xβ），则T是一对一映射。但[0.1]区间的实数是不可数集合，而互不相交的开区间是可数集合，矛盾，于是在字典序上不存在与字典序相一致的效用函数。注3设B是具有偏好关系的有限集，则存在效用函数RBU→:使得(1)、xy当且仅当)(xU)(yU(2)、x～y当且仅当)(xU=)(yU当B只有两个元素时，结论显然成立，设B有n个元素1x，2x，…，nx时，定理成立，下面证明B有n+1个元素时定理亦成立，不妨假设1x≺2x≺…≺nx1()nUx+。如果不存在1≤k≤n-1，使1+kxkx，1+kx1+nxkx，则必有1+nx≺1x或者1+nxnx。现在定义1()nUx+,8如果1nkxx+∼，定义1()nUx+=()kUx如果1kx+1nkxx+，定义1()nUx+=12[1()()kkUxUx++]如果1nx+≺1x定义1()nUx+=121()Ux如果1nx+nx，定义1()nUx+=2()nUx容易验证，如上定义的效用函数U，满足如下条件(a))(ixU)(jxU当且仅当ijxx(b))(ixU=)(jxU当且仅当ix～jx1,,2,1,+=nji。由数学归纳法，可见结论成立。91.2期望效用函数为定义基于VonNeumann—Morgenstern效用函数的期望效用函数，我们首先考虑离散随机变量，对这种简单的情况，为此引入彩票概念。1.2.1彩票（lottery）及其运算由于金融资产的价格存在不确定性，描述不确定性的数学模型是随机变量，为简单起见，我们假定随机变量有n个结果12,,...,nxxx,这样的随机变量的概率分布可用向量表示为:12(,,...)nppp=P0ip≥ip是第i个结果ix出现的概率,因为有而且只有一个结果出现,所以11=∑=niip。我们称12(,,...)nppp=P为彩票。我们可以把两个概率分布12(,,...)nppp=P和12(,,...)nqqq=Q看作是结果出现的概率不同的两张”彩票”(lottery)。如果选中P的概率为α,选中Q的概率为1-α,那么得到第i个结果出现的概率等于iiqp)1