轨迹方程的求法(自己的)

xyo(1)建系:建立直角坐标系；(2)设点:设所求动点P(x,y);(4)化简:化简方程；(5)检验：检验所得方程的纯粹性和完备性,多余的点要剔除,不足的点要补充。(3)列式:根据条件列出动点P满足的关系式;求动点轨迹方程的基本步骤是什么？复习回顾题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，列出含动点P（x,y）的解析式.一、直接法【例题1】.,259,),05(),05(的轨迹方程求顶点于所在直线的斜率之积等边，，的两个顶点坐标分别是CBCACBAABC则有的坐标为解：设顶点),,(yxC5,5xykxykBCAC25955xyxy由题意知092525922yx化简得192522yx即)5(x)5(x)5(x它表示何种曲线呢？2.与圆x2+y2-4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是______________________.y2=8x(x＞0)或y=0(x＜0)1.已知一曲线是与两个定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为1:2的点的轨迹,则此曲线的方程是______________.2222221(1)42(3)xyxyxy平方化简得:22(1)4xyPABxyo22(2)2||xyx解：设动圆圆心为P(x,y).由题，得222(2)(2||)xyx即-4x+y2=4|x|得动圆圆心的轨迹方程为y=0(x0),或y2=8x(x0)【练习】二、待定系数法题目已知曲线类型,正确设出曲线的标准方程,然后结合问题的条件,建立参数a,b,c,p满足的等式,求得其值,再代入所设方程.1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且经过点P（-6，-3），则抛物线方程为__________212xy【练习2】.______________412736222则双曲线方程为线的实轴长为且双曲有共同的焦点、设双曲线与椭圆，，yx15422yx三、定义法分析题设几何条件，根据所学曲线的定义，判断轨迹是何种类型的曲线，直接求出该曲线的方程.已知圆A：(x+2)2+y2=1与点A（-2，0），B（2，0），分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程.（1）△PAB的周长为10;（2）圆P与圆A外切，且点B在动圆P上（P为动圆圆心）;（3）圆P与圆A外切且与直线x=1相切（P为动圆圆心）.【例题3】【分析】（1）根据题意，先找出等价条件，再根据条件判定曲线类型，最后写出曲线方程.（1）|PA|+|PB|=10-|AB|=6.（2）|PA|-|PB|=1.（3）P点到A的距离比P点到直线x=1的距离多1，即P点到A的距离等于P点到直线x=2的距离.【解析】(1)根据题意，知|PA|+|PB|+|AB|=10，即|PA|+|PB|=6＞4=|AB|，故P点的轨迹是椭圆，且2a=6，2c=4，即a=3，c=2，b=，因此其方程为（y≠0）.（2）设圆P的半径为r，则|PA|=r+1，|PB|=r，因此|PA|-|PB|=1.由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支，且2a=1，2c=4，即a=,c=2,b=，因此其方程为522xy19512152224y14x1(x)152（3）依题意，知动点P到定点A的距离等于到定直线x=2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p=4.∴方程为y2=-8x.105-5-10-15y-20-101020PONM1.动点P到定点(-1，0)的距离与到点(1，0)距离之差为2，则P点的轨迹方程是______________.的轨迹方程是则圆心相内切同时与圆外切与圆一动圆如图PyxNyxMP,100)3(:,4)3(:,22222.15105-5-10-30-20-1010PNABM.,,,,)0,3(,64)3(22的轨迹方程求动点为垂足的交点为的中垂线和直线线段上的一个动点为圆为一定点的方程为已知圆PNPAMMBAMByxA3.1362722yx)1(0xy【练习3】15105-5-10-30-20-1010PNABM,:PBPM由已知可得解.,,,,)0,3(,64)3(22的轨迹方程求动点为垂足的交点为的中垂线和直线线段上的一个动点为圆为一定点的方程为已知圆PNPAMMBAMByxA6,4ABAM又为焦点的椭圆的轨迹是以点BAP,)0(12222babyax＋设椭圆的方程为62,82:ca由题意得171622yxP的轨迹方程为点AMPAPM且ABPBPAPMPA8734222b【练习3】第3题15105-5-10-15-20-101020PNABM【练习3】第3题-----变式.,,,,)0,3(,16)3(22的轨迹方程求动点为垂足的交点为的中垂线和直线线段上的一个动点为圆为一定点的方程为已知圆PNPAMMBAMByxA16.,,,,)0,3(,16)3(22的轨迹方程求动点为垂足的交点为的中垂线和直线线段上的一个动点为圆为一定点的方程为已知圆PNPAMMBAMByxA16【练习3】第3题-----变式,:PBPM由已知可得解15105-5-10-15-20-101020PNABM6,4ABAM又64PAPBPAPM为焦点的双曲线的左支的轨迹是以点BAP,)0,0(12222babyax设双曲线的方程为62,42:ca由题意得523222b)2(15422xyxP的轨迹方程为点AMPAPM且AMPAPM且ABPAPBPAPM4四、代入法（相关点法）当所求动点P的运动很明显地依赖于一已知曲线上的动点Q的运动时，可利用代入法，其关键是找出两动点的坐标的关系。设所求动点P坐标(x,y)，再设与P相关的已知点坐标为Q(x0,y0)，找出P.Q之间的坐标关系，并表示为x0=f(x),y0=f(y)，根据点Q的运动规律得出关于x0,y0的关系式,把x0=f(x),y0=f(y)代入关系式中,即得所求轨迹方程.此法实际上是利用中间变量x0,y0求轨迹方程【例题4】.)0,6(,191622连线的中点的轨迹方程求它与定点上移动一动点在椭圆Myx【练习4】2.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-4-3-2-11234PNOM的轨迹方程。的中点为垂足，求线段，作垂线段轴向，从圆上任意一点已知圆PMNNMNxMyx4.1228642-2-4-6-10-5510PBAO.,,,,2.2的轨迹方程求点且满足上在点轴上滑动和轴分别在和两个端点长为线段PBPPAABPyxBAaAB1422yx222ayx五、参数法如果轨迹动点P（x，y）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关点可用时，可先考虑将x、y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程.参数法中常选角、斜率等为参数.【例题5】解：设动直线方程为：y=x+b，和椭圆方程联立得：x2+4y2-4x=0①y=x+b②5x2+8bx-4x+4b2=0设中点M（x，y），则x=（x1+x2)/2=(2-4b)/5,与②联立消去参数b，得：x+4y-2=0（椭圆内的一段）倾斜角为450的直线与椭圆交于A、B两点，求AB中点的轨迹方程。xyoAB14)2(22yx【练习5】1.过原点的直线与椭圆相交，求弦中点的轨迹方程。14)2(22yx2.如图,过点A(-3,0)的直线l与曲线C：x2+2y2=4交于A,B两点.作平行四边形OBPC，求点P的轨迹。AoxyBCPoxyMA【练习5】解：设OA斜率为k（k∈R），由y=kxx2+4y2-4x=0得：（1+4k2）x2-4x=0设中点M（x，y），则x=（x1+x2）/2=2/（1+4k2）k=y/x消参数得：x2+4y2-2x=01.过原点的直线与椭圆相交，求弦中点的轨迹方程。oxyMA14)2(22yx2.如图,过点A(-3,0)的直线l与曲线C：x2+2y2=4交于A,B两点.作平行四边形OBPC，求点P的轨迹。AoxyBCPG解法一：利用韦达定理解法二：点差法连PO交CB于G.设P(x,y),G(x0,y0),C(x1,y1),B(x2,y2),则x12+2y12=4x22+2y22=4作差，得(x2-x1)(x2+x1)+(y2-y1)(y2+y1)=0即x0+y0k=0又k=003yx解得，x0=2231kk231kky0=x=2261kk261kky=因此消去k,得(x+3)2+y2=9故所求轨迹为(-3,0)为圆心，3为半径的圆.?【练习5】直接法当动点所满足的几何条件能直接用其坐标代入时,可用直接法.待定系数法已知曲线的类型和位置,可设出曲线方程,利用待定系数法求解.定义法分析题设几何条件，根据圆锥曲线的定义，判断轨迹是何种类型的曲线，直接求出该曲线的方程.代入法(相关点法)当所求动点的运动很明显地依赖于一已知曲线上的动点的运动时,可利用代入法,其关键是找出两动点的坐标的关系,这要充分利用题中的几何条件.参数法如果轨迹动点P（x，y）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关点可用时，可先考虑将x、y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程.参数法中常选角、斜率等为参数.总结一、求动点的轨迹方程的常用方法1.求得的轨迹方程要与动点的轨迹一一对应,否则要“多退少补”,多余的点要剔除,不足的点要补充.2.注意“求轨迹”和“求轨迹方程”的区别.3.如何合理引参？五类参数：点坐标，斜率，比例，角度，长度等二、注意