第二章 参数估计2-3 区间估计

下页上页返回一、定义参数的点估计量(X1,X2,•••,Xn)是未知参数的近似值,且是一个随机变量，即使是无偏估计，对于样本的不同观察值(x1,x2,•••,xn),(x1,x2,•••,xn)也会由于随机性使得估计值带有偏差，即=(X1,X2,•••,Xn)不能肯定,希望能知道近似值的精确程度，即估计真值所在的范围,并知道这个范围包含真值的可信程度,通常这种范围以区间形式给出，故称这种估计为区间估计。1、区间估计§3参数的区间估计一、定义二、构造置信区间一般步骤三、数学期望的置信区间四、方差的置信区间五、两个正态总体六、单侧估计下页上页返回2、置信区间定义设统计量(X1,X2,•••,Xn)(X1,X2,•••,Xn)，则称[,]为随机区间，、称为此随机区间的下限、上限。定义2设总体X的分布函数为F(x;)的形式中仅含一个未知参数,对于给定的任意常数(01),若由的样本X1,X2,•••,Xn确定的两个统计量=(X1,X2,•••,Xn)与=(X1,X2,•••,Xn)，则称1-为置信度，随机区间(，)为未知参数的置信度为1-的置信区间，、称为置信度为1-的置信下限、置信上限。下页上页返回目的参数的区间估计，就是求总体X分布中未知参数的置信度为1-置信区间。意义置信度1-反映了区间估计的可靠程度，表示误判的风险，即进行多轮抽样，每轮样本值都确定一个区间(，)，此区间含参数真值的概率是1-，不含参数真值的概率是(不准的概率，也称为检验水平)，另外，置信区间的长度反映了区间估计的精确度。下页上页返回3、选取置信区间的原则原则一般地下页上页返回二、构造置信区间的一般步骤求c,d一般利用不仅一组。下页上页返回三、总体X的数学期望EX的区间估计(一)、总体X的方差2已知1.总体X的分布未知思想：利用契比雪夫不等式进行估计，即方法：设样本X1,X2,•••,Xn来自总体X，EX=,DX=2,(0,1),寻找统计量(X1,X2,•••,Xn)和(X1,X2,•••,Xn)，使得下页上页返回下页上页返回EX置信区间长为为提高精度,容量n需教大,因此估计较粗略。如：置信度为0.95的EX置信区间可为因此置信度为1-的EX置信区间可为下页上页返回例1.在某制造厂一天中发生着火的次数X是一个随机变量，设X～P(),其中未知，现在随机抽取该厂250天的记录如下：设DX=8，试求未知参数的置信度为0.95的置信区间。解=1.22置信度为0.95的置信区间为(0.42，2.02)。着火的次数0123456发生k次着火的天数nk75905422621下页上页返回2.单个正态总体X～N(,2),2为已知方法：设样本X1,X2,•••,Xn来自总体X，(0,1),寻找统计量(X1,X2,•••,Xn)和(X1,X2,•••,Xn)，使得下页上页返回因此置信度为1-的置信区间可为置信区间长为如：求样本容量n=16,=1,X=5.20,置信度为0.95的置信区间，置信区间可为(4.71,6.69)下页上页返回在置信度为0.95的置信区间可为(0.828,1.612)I=0.784例2在例1制造厂一天中发生着火的次数X~N(,10),其中未知,现在随机抽取该厂250天记录得X=1.22,求在置信度为0.95的置信区间。下页上页返回参数在置信度为0.95的置信区间也可为I=0.814参数在置信度为0.95的置信区间也可为其它形式。下页上页返回解置信区间为(4.413，4.555)例3.钢厂铁水含碳量X~N(,0.1082),现在随机测定该厂9炉铁水得X=4.484,求在置信度为0.95的条件下铁水平均含碳量的置信区间。下页上页返回3.一般总体的大样下EX的区间估计(1)2为已知(2)2为未知用S2代替2为未知选取选取下页上页返回(二)、总体X的方差2未知置信度为1-选取因此置信度为1-的置信区间可为下页上页返回例4某糖厂生产一批糖果，设袋装糖果的重量X~N(,2),现从中取出16袋称得重量如下506，508，499，503，504，510，497，512，514，505，493，496，506，502，509，496。试求总体X的均值置信度为0.95的置信区间。解=(500.4，507.1)置信区间为选取下页上页返回四、正态总体X~N(,2)方差2的区间估计(一)、总体X数学期望=0已知样本X1,X2,•••,Xn.且2有估计量选取样本函数下页上页返回样本X1,X2,•••,Xn,且S2是2的无偏估计.因此置信度为1-的2置信区间可为(二)、总体X数学期望未知选取样本函数下页上页返回因此置信度为1-的2置信区间可为注意：情形(一)也可以参照(二)来估计。下页上页返回例5某糖厂生产一批糖果，设袋装糖果的重量X~N(,2),现从中取出16袋称得重量如下506，508，499，503，504，510，497，512，514，505，493，496，506，502，509，496。试求总体X的方差2置信度为0.95的置信区间。解,2未知,符号情形(二),S=6.2022,n=16.置信区间为=27.5，查表得=6.26，选取下页上页返回解(1)求的置信区间,2未知,n=16,=0.05.选取查表得置信区间为=(2.690,2.720)例6.测量一批铅锭的比重，设铅锭的比重X~N(,2),现进行16次检测得铅锭的比重有X=2.705，S2=0.0292，试求总体X的均值和方差2置信度为0.95的置信区间。下页上页返回(2)求2的置信区间,未知,n=16,=0.05.置信区间为=27.5，查表得=6.26，选取=(0.00046,0.002)下页上页返回问题:产品的某一质量指标符合正态分布,但由于种种因素,引起均值、方差的变化，现需要知道这种变化的大小，可考虑进行均值的差以及方差比的估计。五、两个正态总体X~N(1,12)和Y~N(2,22)的区间估计设总体X~N(1,12)与Y~N(2,22)相互独立。样本来自总体X~N(1,12),样本来自总体Y~N(2,22)下页上页返回联合方差下页上页返回1、1-2的1-置信区间(1)、12、22已知选取),(~22212121nnNYX由于因此置信度为1-的1-2置信区间可为下页上页返回(2)、12、22未知，且n1,n2较大(如大于50)由于n1,n2较大，12S12、22S22，仿(1)选取因此置信度为1-的1-2置信区间可为下页上页返回(3)、12=22=2未知选取因此置信度为1-的1-2置信区间可为其中r=n1+n2-2下页上页返回选取因此置信度为1-的置信区间可为下页上页返回例7以商店销售某种商品来自甲、乙两厂家，为检测商品的性能差异，现从甲、乙两厂产品中分别抽取8件和9件产品，检得性能指标X数据如下表：设两厂的产品性能指标服从X1~N(1,12)和X2~N(2,22)(1)若12=0.0064,22=0.0081,求1-2置信度为0.9置信区间。(2)求和1-2置信度为0.9置信区间。甲厂X10.300.120.180.250.270.080.190.13乙厂X20.280.300.110.140.350.260.140.310.20下页上页返回解因此置信度为0.9的1-2置信区间可为(1)、12、22已知=(-0.042-1.64*0.041,-0.042+1.64*0.041)=(-0.109,0.025)下页上页返回(2)求和12置信度为0.9置信区间。的置信度为0.9置信区间=0.1,查表得F0.05(7,8)=3.50F0.05(8,7)=3.73因此置信度为0.9的置信区间可为=(0.226,2.947)下页上页返回1-2置信度为0.9置信区间视12=22情形,=0.1,查表得联合方差:=0.0084t0.05(15)=1.7531因此置信度为0.90的1-2置信区间可为=(-0.048892,-0.0351)此区间不含零，可认为两厂的产品性能有显著差异。下页上页返回例8在测量反应时间时，一个心理学家估计的标准差是0.05秒，为了能以95％的置信度使得他对平均反应时间的估计误差不超过0.01秒，问应该抽取多大的样本容量n。解选取n96下页上页返回六、单侧置信限定义3对于给定的任意常数(01),若由的样本X1,X2,•••,Xn确定的统计量＝(X1,X2,•••,Xn)或＝(X1,X2,•••,Xn)，则称随机区间(,+)或(-,)为未知参数的置信度为1-的单侧置信区间，、称为置信度为1-的单侧置信下限、单侧置信上限。