19二章用函数逼近法进行平面连杆机构综合

用函数逼近法进行平面连杆机构综合第二章2-1函数逼近法的基本思想,...),,(21RRxFj近年来，由于计算机的高速发展和广泛应用，机构近似综合法中的函数逼近法得到了很大发展。函数逼近法基本思想：简言之，使机构所实现的函数（即逼近函数）与给定的预期函数之间产生尽量小的偏差。)(xF首先推导出机构所实现的函数，然后与要求实现的预期函数（该函数事先已被给定）进行比较，求出它们之间的偏差，使得这个偏差尽可能的小，直至满足精度要求。也就是说，我们用机构所实现的函数去尽可能的逼近、接近预期函数，使二者基本上能达到一致。这样的过程，就是函数逼近法的基本思想。,...),,(21RRxFj)(xF•插值逼近法•平方差逼近法•最佳逼近法基于不同的数学处理思想，通常采用的函数逼近方法有三种：插值逼近：通过选取合适的插值结点使逼近函数Fj(x,R1,R2,…)与预期函数F(x)之间的最大偏差尽可能小。平方差逼近：也称平方逼近，使逼近函数与预期函数之间偏差的平均值最小。最佳逼近：使最大极限偏差的模为最小。插值逼近)(),(xFRxFjjy(2-3)处理方法：在自变量x的变化区间内取n个点（图2-1），通过取值，使预期函数F(x)与机构所实现的逼近函数Fj(x,R1,R2,…)二者的函数值在该n个点处相等，即使得（2-3）式表示的偏差为0。那么，我们得到由n个方程组成的方程组，其中未知数为机构的待定参数，这样以来，只需求解这n个方程组成的方程组，便可获得待定机构的参数，即可方便作出连杆机构的简图。njRRRR,...,,21图2-1插值逼近法的几何意义我们将所选的偏差的点，称为插值结点。0y如何确定插值点的个数n？位置？)180212cos(2200nixxxxxmmi柴贝歇夫公式：（2-5）图2-2可利用半圆投影法获取柴贝歇夫公式（2-5）需要说明：插值逼近中，偏差的大小不仅与插值结点的分布有关，而且还与插值结点的数目有关，插值结点数越大，则准确实现预期函数的位置越多，因而逼近精度越高。平方差逼近mxxjdxxFRxFI02)](),([0xxImjf思路：使得逼近函数y=Fj(x,Rj)与给定的预期函数y=F(x)之间的均方差为最小。其中，I为自变量的变化区间[x0,xm]，逼近函数与预期函数差值的平方求和。mijxFRxFI02)](),([（当F(x)为连续形式）（当F(x)为离散形式）图2-3平方差逼近的几何说明特点：采用平方逼近可以使得机构具有较小的累积误差。缺点是在某些点的偏差可能较大。平方差逼近处理方法：由于均方偏差△jf为最小，即意味着积分I的值为最小。在此条件下，求解待定机构参数，需要将积分I对各待求机构参数Rj求偏导，并令其为零，得到若干方程组，求解方程组可获得机构参数Rj。注意：为了避免求反三角函数，通常采用加权偏差表达式，代替均方偏差表达式。即用一个含有机构待定参数的待定系数P0、P1、P2、…Pn的n阶多项式近似代替均方偏差△jf，这样可以方便计算求解。最佳逼近图2-4)(),(maxmaxxFRxFjj特点：采用最佳逼近法，可以使偏差均匀、一致地趋于最小。其整体逼近效果比插值逼近和平方逼近都要好一些。以上，简单介绍了机构近似综合中的三种函数逼近法，实质上，关于给定预期运动规律或运动轨迹的机构综合，其中心问题在于如何简便地列出逼近函数与预期函数之间偏差的表达式。下面一节将以近似实现两连架杆具有给定的转角关系为例，讨论用插值逼近法综合铰链四杆机构。)(F2-2用插值逼近法综合铰链四杆机构1、构造包括待求机构参数的逼近函数),(jjRF图2-5a+b=i+c根据图2-5，有)sin(sin)sin()cos(1cos)cos(0000cbacba)]()cos[(2)cos(2)cos(210000222acaccab（2-15）该式即为铰链四杆机构包含待求机构参数的逼近函数的具体形式。),(jjRFaRcRacbcaR1121322221（2-16）)]()cos[()cos()cos(0003021RRR（2-17）该式中包含五个待求的机构参数。那么，当给定了两连架杆的五组对应转角位移，代入式（2-17），可以得到五个方程，联立求解，则得到待求的五个机构参数。进而可以获得机构的简图。可看出：铰链四杆机构所能满足的两连架杆的对应位置数最多为五组。)cos(coscos321RRR（2-18）这种情况下，只需要三组对应的转角位移代入，求解三个方程，获得三个待求的机构参数。讨论：（1）给定的对应转角位移的组数i少于待求机构参数的数目n时，方程的解将不唯一，有很多种可能，（2）当给定的对应转角位移组数多于待求机构参数的数目时，方程式的数目将多于未知数的数目，那么这种情况下，该问题是不可解的。),(ii2、按给定函数y=F(x)进行铰链四杆机构的综合对于这类问题，首先需要按照一定比例关系，将给定函数换算成机构两连架杆所对应的转角函数关系。)(xFy),(jjRF如图2-6，铰链四杆机构的两连架杆位置连续对应。图2-6mmymmxyyyyxxxx0000（2-20）具体过程为：取机构初始角和为0，设为自变量与输入角的比例系数，为函数值与输出角的比例系数，则x)(0xxy)(0yy由于给定函数y=F(x)和自变量的变化区间是已知，所以只要选定比例系数，便可求出两连架杆的总转角和；相反，或者先取定总转角和，便可求出比例系数。mmmm“插值法综合一铰链四杆机构，使其两连架杆对应转角关系，满足给定的函数y=F(x)”，此类问题的分析步骤如下：（1）计算比例系数、xy（2）利用柴贝歇夫公式计算插值节点坐标、（3）计算对应转角、（4）求解方程组，获得机构参数。ixiyii[例2-1]试用函数插值逼近法综合一铰链四杆机构，近似实现给定函数xysin已知自变量x变化区间900x预先选定两连架杆的总转角和120m60m求解步骤：（1）利用式（2-20），求换算比例系数；（2）根据待求机构参数的个数，确定插值节点的数目，并利用柴贝歇夫公式（2-5），计算插值点坐标；（3）根据比例系数，计算相应转角、；ii（4）将相应转角，代入式（2-17），得到方程组；（5）求解方程组，得到R1、R2、R3等机构参数；（6）根据式（2-16），求出机构几何尺寸a、b、c；（7）选定机架的绝对长度后，可绘制机构简图。图2-7除三个插值节点外，机构在其他位置，均存在偏差偏差计算：)(),(FRFjj以两连架杆的对应转角关系表示的给定函数形式如下：00)(1yxFxy本例中，以转角形式表示的给定函数和机构所能实现的函数具体为：43sin600430sin60)(F0222arctan2),(CBCBAARFjj图2-8[例2-2]试综合一铰链四杆机构，使其两连架杆的转角对应关系近似实现预期函数自变量变化区间为xylg21x2-3用平方逼近法综合铰链四杆机构1、铰链四杆机构的加权偏差表达式q00图2-9图中五杆机构中，导杆BC长度为一变量，当导杆与滑块固定，则变为铰链四杆机构。b显然，当给定转角关系后，五杆机构中变长度相对选定长度的偏差越小，则铰链四杆机构的输出转角相对于给定值的偏差就越小，即从动连架杆的转角偏差与杆长偏差有关。)(Fbbbbb22))((bbbbbbqbq令式中，q为与常数2b相差很小的系数，bbq经整理，略去二阶微量，得bbqbq2——加权偏差——权qqqb类似的，写出向量等式，分别向坐标轴投影，整理，可以得到铰链四杆机构的加权偏差表达式为：)cos(2)cos(2100222accabqbq)]()cos[(200ac2、机构参数的求解为了便于求解，作变量代换，将上式写成多项式的形式，)sin()()cos()(1)(sin)(cos)(sin)(cos)(6543210fffffff302163120522240302010021sincossincosPPPPPPPPPPcabPcPcPaPaP)(...)()(2661100fPfPfPq（2-31）（2-34）（2-29）将上式代入平方逼近的偏差表达式中，代替mdfPfPfPI02661100)(...)()(2)(),(xFRxFjjmifPfPfPS02661100)(...)()(2令I或S对其所有系数求偏导，并取其等于零，可以得到方程组。同时，引入下列代换mdffCClklkkl0)()(miiliklkklffCC0)()()6,5,4,3,2,1,0,(lk0......0...0...666161060616111010606101000PCPCPCPCPCPCPCPCPC求解该方程组，可得到各系数P0、P1、…、P6，再根据式（2-30），可求出五个机构参数a、b、c、、，最终可绘出机构简图。00（2-34）平方差逼近法的计算步骤：（1）求比例系数（2）列出以转角形式表达的给定函数：（3）在总输入转角范围内，分为若干等份，计算相应的（4）计算方程组的各系数Ckl（k，l=0,1,…6）（5）求解方程组，得到P0、P1、...、P6（6）求机构参数，绘制机构简图xy00)(1yxFxymii)(0if)(1if)(6ifmiilikklffC0)()(（m为等份数）[例2-3]试用函数平方逼近法综合一铰链四杆机构，近似实现给定函数自变量变化区间为xylg101x图2-10回顾本次课的重点（1）函数逼近法的基本思想；（2）插值逼近法中，利用柴贝歇夫公式选取插值结点；（3）按照给定函数关系，利用插值逼近法综合铰链四杆机构。作业：1、编程实现例2-1的求解过程。2、感兴趣者，试编程实现例2-3的求解过程。