正、余弦定理应用举例(1)

一、复习正弦定理RCcBbAa2sinsinsin,CsincBsinbCsincAsinaBsinbAsinaABCabc正弦定理应用的两种类型：1）知两角和任一边，求其它的两边和一角2）知两边和其中一边的对角，求另一边和角三角形的一些基本性质1）在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°2）大边对大角，即ab∠A∠BABCabc余弦定理CabbacBaccabAbccbacos2cos2cos2222222222ab2cbaCcosac2bcaBcosbc2acbAcos222222222ABCabc利用余弦定理可解决一下两类解三角形问题（1）知三边求三角（2）知两边和它们的夹角，求第三边，进而可求其它的角应用举例（第一课时）南充二中吴应浩问题1.A、B两点在河的两岸(B点不可到达)，要测量这两点之间的距离。测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC＝51o，∠ACB＝75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m).分析：所求的边AB的对角是已知的,又知三角形的一边AC,根据三角形内角和定理可计算出边AC的对角,根据正弦定理,可以计算出边AB.解：根据正弦定理，得答：A、B两点间的距离为65.7米。sinsinsin55sinsinsin55sin7555sin7565.7()sin(1805175)sin54ABACACBABCACACBACBABABCABCm例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。ABCABCD解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并且在C、D两点分别测得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=δ.在∆ADC和∆BDC中，应用正弦定理得sin()sin()sin()sin180()sinsinsin()sin180()aaACaaBC计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离222cosABACBCACBC.AB45ACB60ACD30CDBADB23CDBA两点的距离，求，，千米，定的距离，在河的这边测两点间、如图，为了测量河对岸课堂练习：ABCD30°45°30°60°分析：1.在△ABD中求AB2.在△ABC中求AB46AB练习1、分析题意，弄清已知和所求；2、根据题意，画出示意图；3、将实际问题转化为数学问题，写出已知所求；4、正确运用正、余弦定理。小结：求解三角形应用题的一般步骤：解决有关三角形应用性问题的思路、步骤和方法实际问题抽象概括画示意图建立数学模型（列数学关系式）推理演算数学模型的解实际问题的解检验作答还原说明作业布置必做题:第19页习题1.2A组从第1、2、3、4题中选择三道题选做:设计测量地、月间距的方案(至少一种).1、如图，地平面上有一旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上取一基线AB，AB=200米，在A处测得P点的仰角，在B处测得P点的仰角，又测得求旗杆的高。030OAP045OBP060AOB课堂练习：ABPOh2、某海轮以30海里/h的速度行驶，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40min后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80min到达C点，求P、C间的距离.南东西北ABCP60°60°30°分析：1.应用正弦定理求出BP2.利用勾股定理求出PC720PC320BP•课外延伸:波利亚解题法乔治·波利亚(GeorgePolya,1887—1985)是20世纪举世公认的数学家，著名的数学教育家，享有国际盛誉的数学方法论大师．波利亚在数学教育领域最突出的贡献是开辟了数学启发法研究的新领域，为数学方法论研究的现代复兴奠定了必要的理论基础．波利亚致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张《怎样解题表》。怎样解题表的主要内容是：第一步：你必须弄清问题。1.已知是什么？未知是什么？要确定未知数，条件是否充分？2.画张图，将已知标上。3.引入适当的符号。4.把条件的各个部分分开。第二步：找出已知与未知的联系。1.你能否转化成一个相似的、熟悉的问题？2.你能否用自己的语言重新叙述这个问题？3.回到定义去。4.你能否解决问题的一部分？5.你是否利用了所有的条件？第三步：写出你的想法。1.勇敢地写出你的方法。2.你能否说出你所写的每一步的理由？第四步：回顾。1.你能否一眼就看出结论？2.你能否用别的方法导出这个结论？3.你能否把这个题目或这种方法用于解决其他的问题？练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．（1）什么是最大仰角？最大角度最大角度最大角度最大角度（2）例题中涉及一个怎样的三角形？在△ABC中已知什么，要求什么？CAB练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．最大角度最大角度最大角度最大角度已知△ABC中AB＝1.95m，AC＝1.40m，夹角∠CAB＝66°20′，求BC．解：由余弦定理，得答：顶杆BC约长1.89m。CAB222222cos1.951.4021.951.40cos66203.5711.89(m)BCABACABACABC