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第四章三角函数与三角形走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学第四章第六节正弦定理和余弦定理第四章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学夯实基础稳固根基1．正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R(其中R为△ABC外接圆的半径)．2．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC或cosA＝b2＋c2－a22bc，第四章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.3．三角形中的常见结论(1)A＋B＋C＝π.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．4.△ABC的面积公式有：①S＝12a·h(h表示a边上的高)；②S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA＝abc4R；第四章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学考点典例讲练第四章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学[例1](1)在△ABC中，若a＝4，B＝30°，C＝105°，则b＝________.(2)(2011·北京西城区期末)已知△ABC中，a＝1，b＝2，B＝45°，则角A等于()A．150°B．90°C．60°D．30°正弦定理的应用第四章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学解析：(1)已知两角和一边只有一解，由B＝30°，C＝105°得，A＝45°，由正弦定理得，b＝asinBsinA＝4sin30°sin45°＝22.(2)根据正弦定理得1sinA＝2sin45°，∴sinA＝12，∵ab，∴A为锐角，∴A＝30°，故选D.答案：(1)22(2)D第四章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学点评：1.已知两角和一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．2．已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论．这是易错的地方，也是常考查的地方．第四章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学[例2](文)(2012·新课标全国文)已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，c＝3asinC－ccosA.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b、c.三角形的面积公式第四章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学分析：(1)已知c＝3asinC－ccosA，求角A，注意到等式中的三项都含有c或sinC，故可用正弦定理化边为角，约去sinC(sinC≠0)得到角A的关系式，再结合0Aπ，求出角A.(2)可结合角A的值，选择合适的△ABC的面积公式，建立关于b、c的方程组，解得b、c的值．已知a和S△ABC及角A，可选择面积公式S△ABC＝12bcsinA，再结合余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，建立b与c的方程组解之．第四章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学解析：(1)由c＝3asinC－ccosA及正弦定理得，3sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.由于sinC≠0，所以sin(A－π6)＝12.又0Aπ，故A＝π3.(2)△ABC的面积S＝12bcsinA＝3，故bc＝4.而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.解得b＝c＝2.第四章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学思考题：(2012·浙江文)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝3acosB.(1)求角B的大小；(2)求sinC+sinA最值．第四章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学课堂巩固训练第四章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学一、选择题1．(文)已知△ABC中，a＝2、b＝3、B＝60°，那么角A等于()A．135°B．90°C．45°D．30°[答案]C第四章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学[解析]由正弦定理得，asinA＝bsinB，sinA＝asinBb＝2sin60°3＝22，又∵ab，∴AB，故A＝45°，选C.第四章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学2．(文)在△ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，且sin2A－sin2C＝(sinA－sinB)sinB，则角C等于()A.π6B.π3C.5π6D.2π3[答案]B第四章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学[解析]由正弦定理得a2－c2＝(a－b)·b＝ab－b2，由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝12，∵0Cπ，∴C＝π3.第四章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学二、填空题3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若b2＋c2＝a2＋bc，且AC→·AB→＝4，则△ABC的面积等于________．[答案]23第四章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学[解析]∵b2＋c2＝a2＋bc，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，∴sinA＝32，∵AC→·AB→＝4，∴b·c·cosA＝4，∴bc＝8，∴S＝12AC·ABsinA＝12×bc·sinA＝23.