第九讲-卡氏定理

第11章能量法（一）§1外力功与应变能§2互等定理§3余能与卡氏第二定理§4变形体虚功原理§5单位载荷法讲授内容上讲回顾上讲回顾相应位移载荷F作用点处沿载荷作用方向的位移D.由所有载荷共同引起外力功载荷F在其相应位移D上所作之功广义载荷力，力偶，一对大小相等、方向相反的力或力偶等广义位移线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等应变能构件因变形而储存的能量（变形能）基本公式一般物体相应位移d:0DdddfWDd0dfW线性弹性体dfdkfD0dddkW2DFW载荷f:0F22Dkk－线弹体在载荷作用点、沿其作用方向产生单位位移所需之力，称为刚度系数克拉比隆定理Fi－广义载荷，Di－相应广义位移niiF,F,F，21DDniiiFW12D（与加载次序无关）本定理只适用于线性弹性体lllEIxxMGIxxTEAxxFV2p22Nε2)d(2)d(2)d(lzzlyyllEIxxMEIxxMGIxxTEAxxFV22t22Nε2)d(2)d(2)d(2)d(非圆截面杆或杆系：EIxxMGIxxTEAxxFV2)d(2)d(2)d(d2p22Nε圆截面杆或杆系：y,z轴－主形心轴功的互等定理Dij引起位移的载荷发生位移的部位两种加载状态功的互等定理（简单形式）先加F1，后加F2先加F2，后加F1121222111122DDDFFFW212111222222DDDFFFW21WW212121DDFF线性弹性体的两种加载方式与外力功：总功与加载次序无关对于线性弹性体，F1在F2引起的位移D12上所作的功，等于F2在F1引起的位移D21上所作的功功的互等定理（一般形式）对于线性弹性体，第一组外力Fi在第二组外力引起的位移DiP上所作的功，等于第二组外力Pj在第一组外力引起的位移DjF上所作的功mjjjniiiPF1F1PDD212121DDFF位移互等定理位移互等定理212121DDFF当F1=F2时2112DD当F1与F2的数值相等时，F2在点1沿F1方位引起的位移D12，等于F1在点2沿F2方位引起的位移D21§3余能与卡氏第二定理余能概念克罗第－恩格塞定理卡氏定理例题余能概念余功与余能ComplementaryWorkandComplementaryEnergyFfW0cddDd0dfWDFWWc弹性体的余能Vc数值上等于余功：ccWV余功的定义:单向应力状态下的余能密度为故拉压杆与梁的余能为*0cdvVVV*0cdd余能计算余能是载荷的函数12(,,,)CCnVVFFF对线弹体CVV克罗第－恩格塞定理问题：弹性结构受n个载荷作用，求指定载荷Fk的相应位移Δk给载荷增量kFdckkWFDdd余功增量cckkVVFFdd余能增量克罗第－恩格塞定理kkFWdDdckkFFVVddccccWVddckkFVD弹性体的余能对载荷Fk的偏导数，等于该载荷的相应位移Dk－克罗第－恩格塞定理Crotti-Engesser’stheorem卡氏定理εcVVckkFVDεkkFVD线性弹性体的应变能，对载荷Fk的偏导数，等于该载荷的相应位移Dk－－卡氏第二定理xFMEIxMxFMEIxMxFxTGIxTxFxFEAxFΔkzlzzkylyyklklkd)(d)(d)()(d)()(tNN对于线性弹性体：A.Castigliano(1847-1884)，意大利工程师。1870年入都灵工业学院，1873年提出工程师学位论文。卡氏第一定理lzzlyyllEIxxMEIxxMGIxxTEAxxFV22t22Nε2)d(2)d(2)d(2)d(卡氏定理直接推导10kkVVVFFd1102kkkkFVWWFdddDDkkVFD线弹性体受n个载荷0012niiiFVWD外力功考虑两个加载过程给载荷增量kFd1),ikFF先后d2),kiFF先后d线弹性体外力功与加载次序无关例题例3-1用卡氏定理求DBy解：FFEAlFFFEAlFByN22N2N11N1DFF2N1FFN2222EAlFByD(-1))(-EAlFEAFlBy1)2(2D（）NNNN()()d1klkniiiikFxFxΔxEAFFlFEAF解：1.分析方法0ee)()(MBBM,qq施加矩为Me的力偶0eed)()()(MlBxMxMEIxMq－附加力偶－附加力法转角θB所对应的载荷？EI例3-2利用卡氏定理计算BEIlMqlFAye222)(2eqxlxMqlxxMlxMMe2.位移计算lBEIqlxlxqxqlxEIq03224d221)(()0eed)()()(MlBxMxMEIxMq解：1.应力分析例3-3利用克罗第－恩格塞定理计算wA，cyyccybycAyMhAd2d3/2/20255/2cbhMFx5/2251cbhFx5/225bhyFxc0022cddcv15/23233/23c32250hbcxyFvlhhbclFxyvV0/2052243cc625dd22.余能与位移计算52242c225hbclFFVwA（）AFFBa例3-4图示刚架的变形能为U，问UF代表什么？合力的相应位移？A点合位移？解：考虑该刚架的另一载荷状态，其变形能ABa1F2F12(,)UUFF则12,AAUUfFFD若令12,FFFF则由复合求导法则12121212AAFFFFFFUUUUUFFFFFFFfD可见，UF为两F载荷相应位移的代数和。若两个F载荷平行、反向，UF为两载荷对应的相对位移。1A22222AAAUUUfFFFDDABADAfAFFBa2FFA合力的相应位移22AAAfDDAD