第10讲 勾股定理

1第10讲勾股定理〖学习目标〗1.知道勾股定理及其逆定理的联系与区别，能用这两个定理解决一些简单的实际问题．2.初步认识勾股定理及其逆定理的重要意义，会用这两个定理解决一些几何问题．※考情分析勾股定理是解决直角三角形三边关系的重要工具，在几何证明和几何计算中有着重要的应用，不过这一知识点在中考试卷中直接考查一般比较容易，以填空选择为主，分值一般控制在3分以内，但如果作为解决其它问题的工具，它有可能出现在解答题甚至压轴题中．〖基础知识·轻松学〗一、勾股定理1．定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边为c，那么222abc．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.精讲：（1）勾股定理几种表达式在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则222cab，222acb，222bca；22cab，22acb，22bca．（2）需要注意的是，勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形，那么三条边之间就没有这种关系．应用勾股定理的时候，一定要弄清哪两条边是直角边，哪条边是斜边．二、面积法与勾股定理的证明勾股定理证明常用的方法是面积法，即几何图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积就不会改变，再利用面积公式进行计算论证，这种割补法是验证勾股定理的有效方法．精讲：两种著名的证法1．赵爽弦图（如图10-1）BDEAb(股)a(勾)c(弦)C图10-1图10-2证明思路：S正方形ABDE＝214()2abba，S正方形ABDE＝2c．所以2214()2abbac．aaaabbbccccCDEAB2化简便得：a2＋b2＝c2，即22cab．2．美国总统加菲尔德的证法（如图10-2）证明思路：根据梯形的面积计算公式，得211()()()22Sababab梯形，又因为梯形由三个直角三角形组成，得2211222Sabcabc梯形.所以2211()22ababc，整理，得222abc.三、勾股定理的逆定理如果一个三角形的三边长a，b，c满足222abc，那么这个三角形是直角三角形．精讲：1．判断判定一个三角形是直角三角形的步骤①首先确定最大的边（设为c）；②验证2c与22ab是否具有相等关系，若2c＝a2＋b2，那么△ABC是以∠C为直角的直角三角形；若2c≠22ab，那么△ABC不是直角三角形。2．勾股定理与勾股定理逆定理的比较勾股定理勾股定理的逆定理条件在Rt△ABC中，∠C＝90°在△ABC中，a2＋b2＝c2结论a2＋b2＝c2∠C＝90°区别勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到“数量关系222cba”，即由“形”到“数”勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足222cba”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”到“形”联系两者都与三角形的三边有关系四、勾股数勾股数又称勾股弦数，是指能够成为直角三角形三条边长的三个整数．精讲：常见的勾股数有3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，12，15；9，40，41等，勾股数组有无数个，比如3，4，5三个整数的正整数倍都是勾股数．熟悉常见的勾股数，有助于判断一个几何图形中有无直角三角形，为解题带来方便．〖重难疑点·轻松破〗一、判断勾股数，用“平方和”不如用“平方差”简便例1：有下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（）A．13，14，15B．5，6，7C．9，12，16D．40，41，93分析：因为111345，且22211114114516254003，所以A中三条线段不能组成三角形；因为7＞5＞6，且22276(76)(76)135，所以B中三条线段不能组成三角形；因为16＞12＞9，且2221612(1612)(1612)1129，所以C中三条线段不能组成三角形；因为41＞40＞9，且2224140(4140)(4140)819，所以D中三条线段能组成三角形.答案：D点评：判断勾股数，“平方和”不如用“平方差”简便，以40，41，9为例，正常的判定方法应该是判定22409是否等于412，但这样做的计算量远大于判定224140是否等于92．变式练习1：．以下面每组中的三条线段为边的三角形中，是直角三角形的是（）A．5cm，12cm，13cmB．5cm，8cm，11cmC．5cm，13cm，11cmD．8cm，13cm，11cm二、梯子下滑解决思路――分解成两个直角三角形解决梯子下滑问题中，会出现两个直角三角形，下滑之前一个直角三角形，下滑之后一个直角三角形．解决此类问题时，可先考虑将原图分解成两个直角三角形，然后分别在两个直角三角形中解决问题．例2：如图10-3，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时，梯足B到墙底段C的距离为0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足也将向外移0.4米吗？图10-3分析：本题中出现两个直角三角形，考虑应用勾股定理，在Rt△ABC中，由AB和BC可求出AC，则A1C＝AC－AA1，而A1B1与AB均为梯子之长，在Rt△A1B1C中，再次运用勾股定理求出B1C，由此便可求出梯子向外移动的距离BB1.解：在Rt△ABC中，BA＝2.5，BC＝0.7所以22222.50.72.4CAABBC在Rt△A1B1C中，11112.5,2.40.42ABACACAA所以222211112.521.5BCABAC所以111.50.70.8BBBCBC4所以梯子向外移了0.8m，而不是0.4米.点评：梯子下滑问题，实际上是两个直角三角形问题，比如在本题中，两个直角三角形之间的联系是，AC＝A1C＋0.4，分别在两个直角三角形中应用勾股定理求出AC，A1C，即可解决问题．变式练习2：如图10-4，一架长5米的梯子AB，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3米．如果梯子的顶端沿墙下滑1米，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1米吗？用所学知识，论证你的结论．图10-4三、没有提供图形的几何题，要留意可能出现多解几何题目如果没有明确图形形状的时候，一般这个图形形状会出现几种情况，解题时需要仔细分析题意，找出所有可能的情况．例3：在△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上的高AD＝12，求BC的长．分析：本题已知条件的三条线段AB，AC和AD，都是从点A出发的，所以就有了图10-4和图10-5两种情况，在图10-4中，BC＝BD＋CD；在图10-5中，BC＝CD－BD．分别在Rt△ABD和Rt△ACD中应用勾股定理，求得BD和CD的长，就能求得BC的长．图10-4图10-5解：本题应该分两种情况讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时如图10-4，由勾股定理得BD＝2213125，2215129DC，所以BC＝5＋9＝14．（2）当△ABC为钝角三角形时如图10-5，由勾股定理得BD＝2213125，2215129DC，所以BC＝9－5＝4．综上所知BC＝14或BC＝4．点评：在解本题的时候，容易只考虑上述两种情况中的一种，造成漏解．ABCDABCD5变式练习3：已知一个直角三角形的两条边长分别是3和4，则第三边长为_______.四、“共边”直角三角形解题思路单个直角三角形中应用勾股定理时，题目一般比较简单．因此稍复杂的问题，图中一般会出现两个直角三角形．解决此类问题的时候，要抓住这两个直角三角形的联系，如公共边，相等的边或者两个边长之间存在某种数量关系等．例4：如图10-6，在Rt△ABC中，∠C＝90º，点D是BC上一点，AD＝BD，若AB＝8，BD＝5，则CD＝______________．图10-6分析：图中有两个直角三角形，若设CD＝x，分别在Rt△ABC和Rt△ADC中，利用勾股定理，可求得CD的值.解：设CD＝x，在Rt△ABC中，有222228(5)ACABBCx在Rt△ADC中，有222225ACADCDx所以2264525xx，解得x＝1.4．即CD的值为1.4．点评：在本题中，AC是两个直角三角形公共的直角边，分别在两个直角三角形中运用勾股定理，都可以表示出AC2，即可得到一个关于x的一元一次方程．变式练习4：如图10-7，△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC＝21，则高AD的长为______．图10-7五、求斜边上的高常用等积法证明勾股定理的主要思路是用两种方法表示同一个图形的面积，也是求斜边上高的方法之一，直角三角形的面积可以是两直角边长乘积的一半，也可以是斜边与斜边上的高乘积的一半，可用这个思路列出方程，求出斜边上的高．例5：如图10-8，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长．CADB6图10-8分析：先运用勾股定理求出AB，再根据S△ABC＝12AB·CD＝12AC·BC，即可求出CD的长.解：因为△ABC是直角三角形，AB＝5，BC＝3，由勾股定理有AC2＝AB2－BC2，所以AC＝2253＝4，又S△ABC＝12AB·CD＝12AC·BC得CD＝ACBCAB＝435＝125.点评：求直角三角形斜边上的高常运用勾股定理和面积关系式联合求解，所用的数学思想方法也称面积法.其步骤一般为：先用两种方法分别计算同一图形的面积，然后利用两个面积相等列出一个方程，从而求出所求未知数的值．5.如图10-9，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（）．A．65B．95C．125D．165图10-9六、折叠出对称，勾股建方程折叠问题折叠的对象一般是矩形纸片，矩形的四个内角都是直角，因此解决折叠问题一般在直角三角形中考虑，这就离不开勾股定理这一基本工具．例6：一张直角三角形的纸片，如图10-10所示折叠，使两个锐角的顶点A，B重合，若∠B＝30°，AC＝3，求DE的长．图10-10ABDCEDCBA(B)7分析：由题意可知，△DEA≌△DEB，∠B＝∠DAE＝30°，DE＝DC．因为△ABC为直角三角形，∠B＝30°，所以∠BAC＝30°，所以∠DAC＝30°．在Rt△DCA中，根据“在直角三角形中，30度所对的直角边的等于斜边的一半”，所以DC＝21DA，可以设DC＝x．解：根据题意可得：△DEA≌△DEB，∠B＝∠DAE＝30°，DE＝DC，因为△ABC为直角三角形，∠B＝30°，所以∠BAC＝60°，所以∠DAC＝30°，在Rt△DCA中，DC＝21DA（在直角三角形中，如果有一个锐角等于30度，那么它所对的直角边的等于斜边的一半）。设DC＝x，则DA＝2x，在Rt△DAC中，根据勾股定理得DC2＋CA2＝DA2，即x2＋3＝(2x)2，解得x＝1．所以DE＝DC＝1．点评：折叠问题计算常用到勾股定理，基本思路是第1步：选一个合适的线段长设为x，尽量求什么线段设什么线段；第2步：用含x的代数式表示出所有能表示的线段长；第3步：寻一个直角三角形，前提是这个直角三角形的三边长已知或已用含x的代数式表示，根据勾股定理，列出一个关于x的方程，解出x的值，问题得解．变式练习6：如图10-11，将长方形纸片ABCD的一边AD向下折叠，点D落在BC边的F处．已知AB＝CD＝8cm，BC＝AD＝10cm，求EC的长.图10-11七、勾股树的变式应用如图10-12，分别以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，根据勾股定理，总有S1＝S2＋S3成立．图10-12图10-13事实上，还可以将这三个正方形换成正n边形，或者以直角三角形三边为直径作半圆，如图10-13，S1＝S2＋S3都是成立的．例7：如图10-14，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，分别以AB，AC和BC为直径的半圆如图所示，则图中阴影部分的面积为___________