4等差数列与等比数列解析

第一部分专题突破方略系列丛书进入导航第一部分专题突破方略第一部分专题突破方略系列丛书进入导航专题四数列第一部分专题四第一讲系列丛书进入导航高三二轮·新课标版·数学（文）第一讲等差数列与等比数列第一部分专题四第一讲系列丛书进入导航高三二轮·新课标版·数学（文）创新交汇大盘点03课时作业主干知识大串联01高考热点全突破02第一部分专题四第一讲系列丛书进入导航高三二轮·新课标版·数学（文）主干知识大串联01知识梳理追根求源第一部分专题四第一讲系列丛书进入导航高三二轮·新课标版·数学（文）1．等差数列的有关公式与性质(1)定义式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．(2)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.(3)前n项和公式：Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－12d.第一部分专题四第一讲系列丛书进入导航高三二轮·新课标版·数学（文）(4)等差中项公式：2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)．(5)性质：①an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)；②若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)；③设等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也成等差数列．第一部分专题四第一讲系列丛书进入导航高三二轮·新课标版·数学（文）2．等比数列的有关公式与性质(1)定义式：an＋1an＝q(n∈N*，q为非零常数)．(2)通项公式：an＝a1qn－1.(3)前n项和公式：Sn＝na1q＝1，a11－qn1－q＝a1－anq1－qq≠1.第一部分专题四第一讲系列丛书进入导航高三二轮·新课标版·数学（文）(4)等比中项公式：a2n＝an－1an＋1(n∈N*，n≥2)．(5)性质：①an＝amqn－m(m，n∈N*)；②若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq(m，n，p，q∈N*)；③若等比数列{an}的公比不为－1，前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也成等比数列．第一部分专题四第一讲系列丛书进入导航高三二轮·新课标版·数学（文）3．等差、等比数列的判定与证明方法(1)定义法：an＋1－an＝d(d为常数)⇔{an}是等差数列；an＋1an＝q(q为非零常数)⇔{an}是等比数列；(2)中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列；a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)⇔{an}是等比数列(注意等比数列的an≠0，q≠0)；(3)通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列；an＝cqn(c，q为非零常数)⇔{an}是等比数列；第一部分专题四第一讲系列丛书进入导航高三二轮·新课标版·数学（文）(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列；Sn＝mqn－m(m为常数，q≠0)⇔{an}是等比数列；(5)若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用a1，a2，a3验证即可．第一部分专题四第一讲系列丛书进入导航高三二轮·新课标版·数学（文）1．(2014·福建卷)等差数列{an}的前n项和Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6＝()A．8B．10C．12D．14第一部分专题四第一讲系列丛书进入导航高三二轮·新课标版·数学（文）解析：S3＝3a1＋3d＝12，将a1＝2代入得公差d＝2，故a6＝a1＋5d＝12，从而选C.答案：C第一部分专题四第一讲系列丛书进入导航高三二轮·新课标版·数学（文）2．(2014·全国卷Ⅱ)等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝()A．n(n＋1)B．n(n－1)C.nn＋12D.nn－12答案：D第一部分专题四第一讲系列丛书进入导航高三二轮·新课标版·数学（文）解析：由a2，a4，a8成等比数列，得a24＝a2a8，即(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋14)，∴a1＝2.∴Sn＝2n＋nn－12×2＝2n＋n2－n＝n(n＋1)．答案：A第一部分专题四第一讲系列丛书进入导航高三二轮·新课标版·数学（文）3．(2014·重庆卷)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是()A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列第一部分专题四第一讲系列丛书进入导航高三二轮·新课标版·数学（文）解析：从项的下标寻找规律，下标成等差数列的，对应的项成等比数列．设等比数列的公比为q，因为a6a3＝a9a6＝q3，即a26＝a3a9，所以a3，a6，a9成等比数列．故选D.答案：D第一部分专题四第一讲系列丛书进入导航高三二轮·新课标版·数学（文）4．(2014·天津卷)设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．第一部分专题四第一讲系列丛书进入导航高三二轮·新课标版·数学（文）解析：∵{an}是等差数列，∴S1＝a1，S2＝2a1－1，S4＝4a1－6，又S1，S2，S4成等比数列，∴(2a1－1)2＝a1(4a1－6)，解得a1＝－12.答案：－12第一部分专题四第一讲系列丛书进入导航高三二轮·新课标版·数学（文）5．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝________.解析：因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5.所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10lne5＝50lne＝50.答案：50第一部分专题四第一讲系列丛书进入导航高三二轮·新课标版·数学（文）高考热点全突破02考点突破解码命题第一部分专题四第一讲系列丛书进入导航高三二轮·新课标版·数学（文）高考经常考查等差(等比)中a1、n、d(q)、an与Sn的基本运算，或考查等差、等比数列的交汇计算．求解这类问题要重视方程思想与整体思想的应用，难度中档．等差数列、等比数列的基本运算第一部分专题四第一讲系列丛书进入导航高三二轮·新课标版·数学（文）【例1】(2014·湖北卷)已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．第一部分专题四第一讲系列丛书进入导航高三二轮·新课标版·数学（文）【标准解答】(1)设数列{an}的公差为d，依题意，2,2＋d,2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.当d＝0时，an＝2；当d＝4时，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2，从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2.(2)当an＝2时，Sn＝2n.显然2n60n＋800，第一部分专题四第一讲系列丛书进入导航高三二轮·新课标版·数学（文）此时不存在正整数n，使得Sn60n＋800成立．当an＝4n－2时，Sn＝n[2＋4n－2]2＝2n2.令2n260n＋800，即n2－30n－4000，解得n40或n－10(舍去)，此时存在正整数n，使得Sn60n＋800成立，n的最小值为41.综上，当an＝2时，不存在满足题意的n；当an＝4n－2时，存在满足题意的n，其最小值为41.第一部分专题四第一讲系列丛书进入导航高三二轮·新课标版·数学（文）类题通法第一部分专题四第一讲系列丛书进入导航高三二轮·新课标版·数学（文）1．(2013·全国卷Ⅱ)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝()A.13B．－13C.19D．－19第一部分专题四第一讲系列丛书进入导航高三二轮·新课标版·数学（文）解析：{an}为等比数列，当q＝1时，a1＝a5＝9；S3＝3a1＝a1＋10a1得a1＝0矛盾，故q≠1此时S3＝a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，化简得a3＝9a1，即a1q2＝9a1，∴q2＝9，而a5＝a1q4＝9，所以a1＝19，故选C.答案：C第一部分专题四第一讲系列丛书进入导航高三二轮·新课标版·数学（文）2．在等比数列{an}中，已知a3＝8，a6＝64.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.第一部分专题四第一讲系列丛书进入导航高三二轮·新课标版·数学（文）解：(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.由已知得8＝a1q2,64＝a1q5，解得q＝2，a1＝2.∴an＝2n.(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32.设等差数列{bn}的首项为b1，公差为d，第一部分专题四第一讲系列丛书进入导航高三二轮·新课标版·数学（文）则有b1＋2d＝8，b1＋4d＝32，解得b1＝－16，d＝12.从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28.所以数列{bn}的前n项和Sn＝n－16＋12n－282＝6n2－22n.第一部分专题四第一讲系列丛书进入导航高三二轮·新课标版·数学（文）等差(比)数列的证明是高考命题的重点和热点，多在解答题中的某一问出现，一般用定义法直接证明，主要考查学生综合运用数学知识解决问题的能力，属于中档题．等差数列与等比数列的判定与证明第一部分专题四第一讲系列丛书进入导航高三二轮·新课标版·数学（文）【例2】(2014·全国卷Ⅰ)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．(1)证明：an＋2－an＝λ；(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．第一部分专题四第一讲系列丛书进入导航高三二轮·新课标版·数学（文）【标准解答】(1)由题设，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1.两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故an＋2－an＝4，由此可得第一部分专题四第一讲系列丛书进入导航高三二轮·新课标版·数学（文）{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．第一部分专题四第一讲系列丛书进入导航高三二轮·新课标版·数学（文）类题通法数列{an}是等差或等比数列的证明方法1证明数列{an}是等差数列的两种基本方法：①利用定义，证明an＋1－ann∈N*为常数；②利用中项性质，即证明2an＝an－1＋an＋1n≥2.2证明{an}是等比数列的两种基本方法：①利用定义，证明n∈N*为一常数；②利用等比中项，即证明＝an－1an＋1n≥2，an≠0.第一部分专题四第一讲系列丛书进入导航高三二轮·新课标版·数学（文）3．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝14，且Sn＝Sn－1＋an－1＋12(n∈N*，n≥2)，数列{bn}满足：b1＝－1194，且3bn－bn－1＝n(n≥2，且n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{bn－an}为等比数列．第一部分专题四第一讲系列丛书进入导航高三二轮·新课标版·数学（文）解：(1)由Sn＝Sn－1＋an－1＋12得Sn－Sn－1＝an－1＋12，即an－an－1＝12(n∈N*，n≥2)，则数列{an}是以12为公差的等差数列，所以an＝a1＋(n－1)×12＝12n－14(n∈N*)．第一部分专题四第一讲系列丛书进