反函数的倒数复合函数的求导法则

上页下页返回上页下页返回第三节反函数的倒数复合函数的求导法则一、反函数的导数二、复合函数的求导法则三、小结思考题上页下页返回上页下页返回一、反函数的导数定理0)(,)(yIyxy且内单调、可导在某区间如果函数即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,)(内也可导在对应区间那末它的反函数xIxfy.)(1)(xxf且有上页下页返回上页下页返回证明：,xIx取xx以增量给的单调性可知由)(xfy,0y于是有,1yxxy连续又有)(xf),0(0xy0)(y又知xyxfx0lim)(yxy1lim0)(1y.)(1)(yxf),0(xIxxx结论：反函数的导数等于直接函数导数的倒数.0)()(yIyxy且内单调、可导在某区间条件：函数？即上页下页返回上页下页返回例1.arcsin的导数求函数xy解,)2,2(sin内单调、可导在yIyx,0cos)(sinyy且内有在)1,1(xI)(sin1)(arcsinyxycos1y2sin11.112x.11)(arccos2xx同理可得;11)(arctan2xx)(arcsinx.11)cot(2xxarc上页下页返回上页下页返回例2.log的导数求函数xya,0ln)(aaayy且,),0(内有在xI)(1)(logyaaxaayln1.ln1ax解,),(内单调、可导在yyIax特别地.1)(lnxx上页下页返回上页下页返回二、复合函数的求导法定理：,)(0可导在点如果函数xxu即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则),)]([0可导在点则复合函数xxfy,)()(00可导在点而xuufy).()(000xufdxdyxx且其导数为上页下页返回上页下页返回证明：可导在点由0)(uufy)(lim00ufuyu)0lim()(00uufuy即uuufy)(0xyx0lim])([lim00xuxuufxxuxuufxxx0000limlimlim)().()(00xuf可导在点而可导在点条件：函数)()(,)(000xuufyxxu)()(,)]([0000xufdxdyxxfyxx为且其导数可导在点结论：？上页下页返回上页下页返回推广),(),(),(xvvuufy设.)]}([{dxdvdvdududydxdyxfy的导数为则复合函数例3.sinln的导数求函数xy解.sin,lnxuuydxdududydxdyxucos1xxsincosxcot上页下页返回上页下页返回例4.)1(102的导数求函数xy解)1()1(10292xxdxdyxx2)1(1092.)1(2092xx例5.arcsin22222的导数求函数axaxaxy解)arcsin2()2(222axaxaxy2222222222121xaaxaxxa.22xa)0(a)(arcsin2)')(2()'2(22222axaxaxxax2221xa)'()(11222axaxa)')(21)(2(2222xaxax上页下页返回上页下页返回例6.)2(21ln32的导数求函数xxxy解),2ln(31)1ln(212xxy)2(31211212xxx)2(3112xxx例7.1sin的导数求函数xey解)1(sin1sinxeyx)1(1cos1sinxxex.1cos11sin2xexx,)'2(2131)'1(1121'22xxxxy上页下页返回上页下页返回三、小结反函数的求导法则（注意成立条件）;复合函数的求导法则（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链导法）;已能求导的函数:可分解成基本初等函数,或常数与基本初等函数的和、差、积、商.上页下页返回上页下页返回思考题若)(uf在0u不可导，)(xgu在0x可导，且)(00xgu，则)]([xgf在0x处（）．（1）必可导；（2）必不可导；（3）不一定可导；上页下页返回上页下页返回思考题解答正确地选择是（3）例||)(uuf在处不可导，0u取xxgusin)(在处可导，0x|sin|)]([xxgf在处不可导，0x)1(取4)(xxgu在处可导，0x44||)]([xxxgf在处可导，0x)2(上页下页返回上页下页返回一、填空题：1、设4)52(xy,则y=___________.2、设xy2sin,则y=____________.3、设)arctan(2xy,则y=____________.4、设xycosln,则y=____________.5、设xxy2tan10，则y=____________.6、设)(xf可导，且)(2xfy，则dxdy=___________.7、设xkexftan)(,则)(xf=__________，若ef4，则k___________.练习题上页下页返回上页下页返回二、求下列函数的导数：1、xy1arccos；2、xxy2sin；3、)ln(22xaxy；4、)cotln(cscxxy；5、2)2(arcsinxy；6、xeyarctan；7、xxyarccosarcsin；8、xxy11arcsin.三、设)(xf，)(xg可导，且0)()(22xgxf,求函数)()(22xgxfy的导数.四、设)(xf在0x处可导，且0)0(f，0)0(f,又)(xF在0x处可导，证明)(xfF在0x处也可导.上页下页返回上页下页返回一、1、3)52(8x；2、x2sin；3、412xx；4、xtan；5、)2sec22(tan10ln1022tanxxxxx；6、)(22xfx；7、xxkekxk21tansectan,21.二、1、122xxx；2、22sin2cos2xxxx；3、221xa；4、xcsc；5、242arcsin2xx；6、)1(2arctanxxex；练习题答案上页下页返回上页下页返回7、22)(arccos12xx；8、)1(2)1(1xxx.三、)()()()()()(22xgxfxgxgxfxf.