反函数的定义

反函数引例1：由西安开往青岛的一辆汽车，以2公里/分钟的速度匀速行驶在高速公路上。（1）请表示出:t分钟后汽车的路程S。（2）若汽车的路程是S公里，请表示出汽车行驶的时间t。s=2tt=s21分析两函数间的关系:)0(2)1(tts)0(2)2(sst这个新函数的自变量是______，对应的函数值是_______。St称是的反函数)0(2tts)0(2sst…12-1……24-2…RRxy一一对应yxxy212反解出x21对于y在R中任何一个值,通过x=y在R中都有唯一的x值和它对应。的反函数。是称函数xyyx221Y=2xyx21）（如函数：Rxxy2一:反函数的定义：函数中设它的值域为C。根据该函数中x,y的关系，用y把x表示出来，得到如果对于y在C中的任何一个值，通过式子，x在A中都有唯一的值与它对应，则表示y是自变量，x是自变量y的函数。该函数叫做函数的反函数。记作：))((Axxfy))((Cyyx)(yfx1))((Cyyx))((Cyyx))((Cyyx))((Axxfy)(yfx1记作：根据习惯我们用x作自变量，用y表示函数。)(yfx1可改写为：)(xfy1）（如函数RyyxRxxy32162)(21对于y在R中任何一个值,通过x=y-3在R中都有唯一的x值和它对应。)(62的反函数。是称函数Rxxy）（Rxxy3211.下列函数是否具有反函数？（1）y=x2；（2）y=x2(x≤0)。思考：（2）函数1xy的定义域是________，值域是________。如果由1xy解出x=________,通过式子x=_________,x在[-1,+)上都有__________的值和它对应，故x是____的函数。[-1,+)[0,+)[0，+)上则对于y在的任一个值，练习：y2-1y2-1唯一确定y反函数。是1012xyxxy)(1xy表达式：定义域：值域：[-1,)[0,+)12yx[-1,+)[0,+)原函数：反函数：二:定义域与值域间的关系：反函数与原函数的关系：原函数表达式：定义域：值域：y=f(x)AC反函数y=f–1(x)CA(2)y=+1(x≥0)x)(31Rxyx所以,函数y=3x-1(x∈R)的反函数是31yx解:(1)由y=3x-1,解得例1：求下列函数的反函数(1)y=3x-1(x∈R))(()(0141132xxyxxy）（）xx解:（2）由函数y=+1,解得x=(y-1)2,所以,函数y=+1(x≥0)的反函数是y=(x-1)2(x≥1)）113xxy()()()()()(21111222xxyxyyxyx注明定义域：互换：反解：②①③)()(0142xxy11012)()(yyxxxy解：—)(11xxy反函数为思考：1.互为反函数的两个函数的解析式是否一定不同？试举例说明。作业：习题2.41.(2),(4),(7),(8);2.2.下列函数是否具有反函数？并由此归纳具有什么条件的函数有反函数？（1）y=x2；（2）y=x2(x≤0)。(1)y=x4+1(x0)(2)y=－－－（x∈R,且x≠1）2x+3x-1随堂练习2：;练习2解答：132xxy)2,(23且Rxyxx132xxy23yyx→①反解→②互换→③注明定义域求反函数的步骤：（3）函数y=x2的定义域是___，值域是____由y=x2解出_________,对于y在[0,+)上任一个值，通过式子——x在R上有_____值和它对应，故x____y的函数。思考题：是否任何一个函数都有反函数？这表明函数y=x2没有反函数并非所有的函数都有反函数！R[0,+),yxy两个不是小结:原函数y=f(x)(x∈A)反函数x=f-1(y)(y∈C)反函数的习惯形式y=f-1(x)(x∈C)反解互换注明定义域