27矩阵分解

矩阵论电子教程哈尔滨工程大学理学院应用数学系DepartmentofMathematicsDepartmentofMathematics矩阵的分解第四章DepartmentofMathematics三角分解法是将原正方(square)矩阵分解成一个上三角形矩阵或是排列(permuted)的上三角形矩阵和一个下三角形矩阵，这样的分解法又称为LU分解法。它的用途主要在简化一个大矩阵的行列式值的计算过程，求反矩阵，和求解联立方程组。§4.1矩阵的三角分解DepartmentofMathematics从而达到求解线性方程组的目的.然后求解,于是可首先求解向量使假定我们能把矩阵写成下列两个矩阵相乘的形式：其中为下三角矩阵，为上三角矩阵。这样,我们可以把线性方程组写成ALUALUbAx令,则原线性方程组bUxLxLUAx)()(yUxbAxyUxbLyybLyyUxbAxDepartmentofMathematics定义：设若使得:称可以作三角分解nnACnnLCAnnCULUA11212212nnnnlllLlllnnn222n11211uuuuuuU其中:DepartmentofMathematics记:1.......11~121nllL1u1uu1Un2n112~01,2,,kkn定理:可作唯一三角分解的充要条件为:nnnACLUA其中:为的顺次主子式detkkAADepartmentofMathematicsL为一般下三角阵而为单位上三角阵的分解称为Crout分解。为单位下三角阵而为一般上三角阵的分解称为Doolittle分解U~L~U而为Doolittle分解则为Crout分解ULA~ULA~ULA~),(,)(ji0uuUijnnij),(,)(~ji0llLijnnij证明:设:ULA~DepartmentofMathematics),min(1jikjkkiuljia通过比较法直接导出和U的计算公式。思路L~nnnnnnnnnnnuuuuuullaaaaaaaaaA22211211121212222111211111DepartmentofMathematics推论:设,且则唯一分解成:其中,为对角阵nnCAAUDLA~~D01,2,,1kkn定理:(Cholesky分解)正定的Hermite矩阵可唯一的分解为:AHLLA其中,为正线下三角,即对角线的元素均为正的LDepartmentofMathematics例1:求A的Crout分解和分解UDL~~8221561254211201AUDL~~解答:设,即:ALU1000100101000000822156125421120134242314131244434241333231222111uuuuuullllllllllDepartmentofMathematics由此:,111l,121l,231l141l,00121211uul222122122221221ulllul1,21413uu1422211323lluu10132123232lual1322331133333lulual133243214313434lululau241124242lual2422341134343lulual544lDepartmentofMathematicsULA~1000110021101201522101120021000182215612542112015221011200210001L将继续分解成得出:DL~DepartmentofMathematicsUDLA~~10001100211012015000010000200001121101212001100018221561254211201DepartmentofMathematics定理2:设，那么可唯一地分解为其中：，为正线上三角阵AURrnrCAArnrUUR§4.2矩阵的QR分解定理1：是次酉阵当且仅当的列（行）为标准正交向量组。AA定义1:设,若则称为次酉阵，全体列满秩（行满秩）的次酉阵的集合记为：A)(nrrrnrCCA)(IAAIAAHH)(nrrrnrUU)(nrrrnrCCA)(nrrrnrUU称为A的UR分解DepartmentofMathematicsA证明：先证明分解的存在性。将矩阵按列分块得到由于，所以是线性无关的。利用Schmidt正交化与单位化方法，先得到一组正交向量组再单位化，这样得到一组标准正交向量组),,,(21rArnrCAr,,,21r,,,21由前面学的定理有：RAr),,,(21其中:为正线上三角阵.设欧氏(酉)空间的线性无关组,则中存在标准正交向量组,使得12,,,mVVm,,,21Rmm],,,[],,,[2121)(mmmmmmRCR记:,则于是:,下面证明分解是唯一的),,,(21rUIUUHrnrUUURA,DepartmentofMathematics假设:,那么有:RUURAˆˆ11ˆˆRRUU注意到仍是酉矩阵，而是一个正线上三角矩阵，因此有:UU1ˆ1ˆRR于是:,从而IUU1ˆIRR1ˆRRUUˆ,ˆIUUUUUUUUUUHHH11111ˆ)ˆ()ˆ()ˆ)(ˆ(推论1:设，那么可唯一地分解为其中：，为正线下三角阵nrrCAAnrrUULUAL证明:因为,则所以,rnrTUUURA,nrrTTTUUURA,,nrrTCA推论2:设，那么可唯一地分解为其中：，为正线上三角阵AURnnnCAAnnnUURDepartmentofMathematics例1求下列矩阵的正交三角分解100010001111A解答:容易判断出即是一个列满秩矩阵。按照定理的证明过程，433ACA将的三个列向量正交化与单位化先得到一个正交向量组:123ADepartmentofMathematics112122121113132231211223121100(,)1(,)2111022(,)(,)(,)(,)11111123333TTTDepartmentofMathematics再将其单位化，得到一组标准正交向量组111222333122002216660663133336662TTTDepartmentofMathematics这样，原来的向量组与标准正交向量之间的关系可表示成112213321262222362362DepartmentofMathematics将上面的式子矩阵化，即为123123222226602623003AURDepartmentofMathematics解答:首先判断出,由定理可知必存在以及三阶正线上三角矩阵使得333AC33UURAUR212220122A练习:求下列矩阵的正交三角分解重复例题的步骤,即得结果DepartmentofMathematics定理：设，那么存在使得：mnrAC,mrrnrrBCCC我们知道进行矩阵分解往往是为了提高计算效率,下面我们将给出另一种矩阵的分解。ABC§4.3矩阵的满秩分解其中为列满秩矩阵，为行满秩矩阵。我们成此分解为矩阵的满秩分解。BC证明：假设矩阵的前个列向量是线性无关的，对矩阵只实施行初等变换可以将其化成ArA00rIDDepartmentofMathematics即存在使得mmmPC00rIDPA10rrIAPIDBC于是有1,0mrrnrrrrIBPCCIDC其中如果的前列线性相关，那么只需对作列变换使得前个列是线性无关的。然后重复上面的过程即可。这样存在ArAr,mmnnmnPCQCDepartmentofMathematics且满足00rIDPAQ从而：其中BCQDIOIPQOODIPArrr1111nrrrrmrrCQDICCOIPB11,DepartmentofMathematics例1：分别求下面三个矩阵的满秩分解00123(2)0024601011(3)0201103022121012122133(1)2431454862810DepartmentofMathematics1210121221332431454862810120111001121000000000000解：（1）对此矩阵只实施行变换可以得到由此可知且该矩阵第一列，第三列是线性无关的。选取()2RankA121012122133(1)2431454862810DepartmentofMathematics42226211122346120111,001121BCCC1210121201111221330011212431450000004862810000000DepartmentofMathematics42226210112142121012,001121BCCC同样，我们也可以选取1210121201111221330011212431450000004862810000000DepartmentofMathematics解（2）对此矩阵只实施行变换可以得到所以，且此矩阵的第三，第四，第五列任意一列都是线性无关的，所以选取哪一列构成列满秩矩阵均可以。00123002460012300000()1RankADepartmentofMathematics选取2111511,200123BCCC2111512,43100122BCCC也可以选取DepartmentofMathematics解：（3）对此矩阵只实施行变换可以得到010110201103022010000001100000所以，且容易看出此矩阵的第二列和第四列是线性无关的，选取()2RankA01011(3)0201103022DepartmentofMathemati