两条直线平行与垂直的判定

知识回顾2121yykxx经过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率：4.直线的斜率公式若直线的倾斜角为α(α≠90°)，则k＝tanα叫做这条直线的斜率.3.直线的斜率2.直线倾斜角的取值范围1.直线倾斜角的定义x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.［0，180)t57301p2在初中我们已经学习了同一平面内两条直线的位置关系并且学习了两条直线平行（垂直）的判定方法，为了在平面直角坐标系内表示直线的倾斜程度，我们引入了直线倾斜角与斜率的概念，并导出了计算斜率的公式，即把几何问题转化为代数问题。那么，我们能否通过直线的斜率来判断两条直线的位置关系呢？我们约定：若没有特别说明，说“两条直线”时，一般是指两条不重合的直线。导入思考一:在平面直角坐标系中，已知一条直线的倾斜角为，那么这条直线的位置是否确定？知识探究（一）:两条直线平行的判定60这条直线的位置不确定。若唯一给定倾斜角（或斜率），得到的是一簇相互平行的直线。Oyxl1l2α1α2思考二:若两条不同的直线倾斜角相等，则这两条直线的位置关系如何？反之成立吗？知识探究（一）:两条直线平行的判定若两条不同的直线倾斜角相等，则它们相互平行。反之，若两条不同的直线平行,则它们的倾斜角相等。思考三:对于两条不重合的直线l1和l2，其斜率分别为k1，k2，根据上述分析可得出什么结论？1212//llkk知识探究（一）:两条直线平行的判定特别注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立．思考四:对于任意两条直线l1和l2，如果它们的斜率存在并且相等，那么两直线一定平行吗？121212//kkllll或与重合知识探究（一）:两条直线平行的判定思考：对于任意两条直线，如果它们的斜率都不存在，那么两直线一定平行吗？新知归纳：两条直线平行与斜率之间的关系设两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k1，k2.则对应关系如下：前提条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔⇔两直线斜率都不存在图示k1＝k2l1∥l2知识探究（二）:两条直线垂直的判定思考1:如果两条直线垂直，那么这两条直线的倾斜角可能相等吗？思考2:如图，设直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，且α2α1，若l1⊥l2，则α1与α2之间有什么关系？yl2Oxl1α2α1012||90.不可能相等.事实上有01290.思考3:已知tan（900+α）=-，据此，你能得出直线l1与l2的斜率k1、k2之间的关系吗？1tan1221122121tantan90,tantan,tan.1kkkk知识探究（二）:两条直线垂直的判定特别注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立．思考4:当k1·k2=-1时，直线l1与l2一定垂直吗？反之成立吗？知识探究（二）:两条直线垂直的判定0121220121211tantan(90)tan90,.kkll两条直线012120012129090tantan(90)ll反之不一定成立.因为由但由不能推出，为什么？090例如,当其中有一条直线的倾斜角为时，它的斜率不存在！知识探究（二）:两条直线垂直的判定思考5:对于直线l1与l2，斜率分别为，根据上述分析可得出什么结论？12kk，12121llkk知识探究（二）:两条直线垂直的判定思考6:对于任意两条直线，如果，一定有吗？12ll121kk一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为零时，上面结论不成立。新知归纳：两条直线垂直与斜率的关系对应关系l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是图示k1·k2＝－1l1⊥l2注意：两直线垂直时倾斜角满足：12||90(3)若两条不重合的直线的斜率都不存在,则它他们平行。(1)若两条直线的斜率相等,则这两条直线一定平行。课前自测：1.判断题：(2)若两条直线平行,则它们的斜率一定相等。(×)(×)（√）(4)若两条直线的斜率之积为-1,则这两条直线一定垂直。(√)(5)若两条直线垂直,则它们的斜率之积一定为–1.(×)若两条直线中,一条没有斜率,另一条的斜率为零,它们的位置关系也是垂直.2．已知直线l1∥l2，直线l1的斜率k1＝2，则直线l2的斜率k2＝()A．不存在B.12C．2D．－12【答案】C3．已知直线l1的斜率k1＝－85，直线l2的斜率k2＝58，则l1与l2的位置关系为()A．平行B．重合C．垂直D．无法确定【解析】∵k1·k2＝－1，∴l1⊥l2.故【答案】C4.过点（1,2）和（-3，2）的直线与x轴的关系是（）A.相交B.重合C.平行D.以上都不对【解析】直线斜率为0.故【答案】C(0,1),1,03,2ABCDABCD5.长方形的三个顶点分别为（）（），求第四个顶点的坐标.D,121101,1.2,3.301D2,3ABDCABADkkkyyxyxx解：设(x,y).由k得：联立可得故6．直线l1的斜率为2，直线l2上有三点M(3,5)，N(x,7)，P(－1，y)，若l1⊥l2，则x＝________，y＝________.【解析】∵l1⊥l2，且l1的斜率为2，则l2的斜率为－12，∴7－5x－3＝y－5－1－3＝－12，∴x＝－1，y＝7.【答案】－17类型一：两条直线平行关系的判定【例1】判断下列各组中的直线l1与l2是否平行：(1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)；(2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；(3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2,0)；(4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)．【思路探究】依据两条直线平行的条件逐一判断便可．【自主解答】(1)k1＝1－－22－－1＝1，k2＝－1－4－1－3＝54，k1≠k2，l1与l2不平行．(2)k1＝1，k2＝2－12－1＝1，k1＝k2，∴l1∥l2或l1与l2重合．(3)k1＝0－11－0＝－1，k2＝0－32－－1＝－1，k1＝k2，而kMA＝3－1－1－0＝－2≠k1，故A,B,M,N四点不共线，∴l1∥l2.(4)l1与l2都与x轴垂直，∴l1∥l2.点评：判断两直线平行，要“三看”：一看斜率是否存在；在斜率都存在时，二看斜率是否相等；若两直线斜率都不存在或相等时，三看直线是否重合，若不重合则两直线平行．变式训练已知直线l1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l2经过两点(2,1)，(x,6)，且l1∥l2，则x＝________.【解析】∵直线l1的斜率不存在，且l1∥l2，∴l2的斜率也不存在．∴点(2,1)及(x,6)的横坐标相同，∴x＝2.【答案】2类型二：两条直线垂直关系的判定【例2】判断下列各组中的直线l1与l2是否垂直：(1)l1经过点A(－1，－2)，B(1,2)，l2经过点M(－2，－1)，N(2,1)；(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；(3)l1经过点A(3,4)，B(3,100)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40)．【思路探究】求出斜率，利用l1⊥l2⇔k1k2＝－1或一条直线斜率为0，另一条斜率不存在来判断．【自主解答】(1)直线l1的斜率k1＝2－－21－－1＝2，直线l2的斜率k2＝1－－12－－2＝12，k1k2＝1，故l1与l2不垂直．(2)直线l1的斜率k1＝－10，直线l2的斜率k2＝3－220－10＝110，k1k2＝－1，故l1⊥l2.(3)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴．直线l2的斜率k2＝40－4010－－10＝0，则l2∥x轴．故l1⊥l2.点评：使用斜率公式判定两直线垂直的步骤：(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式；(3)三求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．变式训练1.已知直线l1⊥l2，若直线l1的倾斜角为30°，则直线l2的斜率为________．由题意可知直线l1的斜率k1＝tan30°＝33，设直线l2的斜率为k2，则k1·k2＝－1，∴k2＝－3：32,14ACBCkkxx2.-1,34,2,ABABxCC已知定点，，以、为直径的端点作圆，圆与轴有交点求交点的坐标。32114xx,,112.2,010ACBCCxykkxxCC设由得或故（）或（，）.类型三：直线平行与垂直关系的综合应用【例3】已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A、B、C、D四点，试判定图形ABCD的形状．【思路探究】先由图形判断四边形各边的关系，猜测四边形的形状，再由斜率之间的关系完成证明．【自主解答】A、B、C、D四点在坐标平面内的位置如图，由斜率公式可得kAB＝5－32－－4＝13，kCD＝0－3－3－6＝13，kAD＝0－3－3－－4＝－3，kBC＝3－56－2＝－12.∴kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，∴AB∥CD.由kAD≠kBC，∴AD与BC不平行．又kAB·kAD＝13×(－3)＝－1，∴AB⊥AD.故四边形ABCD为直角梯形．点评：1．在顶点确定的情况下，确定多边形形状时，要先画出图形，由图形猜测其形状，为下面证明确定目标．2．证明两直线平行时，仅k1＝k2是不够的，注意排除重合的情况．3．判断四边形形状问题要进行到底，也就是要得到最具体的四边形．在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点按逆时针顺序依次是O(0,0)，P(1，t)，Q(1－2t,2＋t)，R(－2t,2)，其中t∈(0，＋∞)，试判断四边形OPQR的形状，并给出证明．11,,.,,//,//.k1,.OPQRORPQOPQRORPQQRORktktkkttkkkkOPQRORPQkQROROPQR解：，故四边形OPQR是平行四边形.又四边形是矩形.变式训练易错探究：分类讨论思想在直线平行与垂直中的应用【例4】已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1,2)，直线l2经过点C(1,2)，D(－2，a＋2)．(1)若l1∥l2，求a的值；(2)若l1⊥l2，求a的值．【思路点拨】(1)xC≠xD斜率存在,l1∥l2→k1＝k2→a的值(2)l1⊥l2→分情况讨论→求a的值【解析】依题意，直线l2的斜率存在并设为k2，则k2＝2－a＋21－－2＝－a3.(1)若l1∥l2，设直线l1的斜率为k1，则k1＝－a3.又1244akaa，则2－aa－4＝－a3，∴a＝1或a＝6.经检验，当a＝1或a＝6时，l1∥l2.1212121212224,.434,4-.34,,2=-1.43aakakaallllallaakka1)若直线的斜率不存在，此时直线的斜率为故直线与不垂直.不合题意，舍去.2）若由于故（）所以，a=3或a=-4.综上，a=3或a=-4.点评：1．由l1∥l2比较k1，k2时，应首先考虑斜率是否存在，当k1＝k2时，还应排除两直线重合的情况．2．由l1⊥l2比较k1，k2时，既要考虑斜率是否存在，又要考虑斜率是否为0的情况．3．在l1∥l2及l1⊥l2相关问题的处理中，树立分类讨论的意识．变式训练已知A(－m－3,2)，B(－2m－4,4)，C(－m，m)，D(3,3m＋2)