电动力学-矢量分析与场论概要

电动力学--2013•邹正峰求是楼233#68948795•9-16周16次课•期末考试80%平时成绩20%•每周交一次作业电动力学•矢量分析与场论•电动力学•参考书：–《矢量分析与场论》谢树艺，高教出版社–《电动力学》郭硕鸿，高教出版社–《电动力学简明教程》俞允强，北大出版社矢量分析与场论—数学预备•矢量及基本运算•矢性函数的运算规则•哈密顿算子及其简易计算方法•积分变换式：高斯公式、斯托克斯公式•场•梯度、散度、旋度•有势场•管形场矢量矢量：既有大小（模），又有方向Aa数量Aa矢量矢量的坐标表示方法kAjAiAAzyx基矢321,,,,eeeeeezyxAzxy矢量可以用三个有序的数量表示),,(zyxAAA矢量矢量的模单位矢量222zyxAAAAA)(,0AeAAzxy2220zyxzyxAAAkAjAiAAAA矢量的加、减加、减矢量的加、减，满足平行四边形法则。以两矢量为邻边作平行四边形，则平行四边形的对角线就是这两个矢量的和或差。如果已知两矢量在直角坐标系中的分量，则这两个矢量的和(差)的分量等于这两个矢量对应分量的和(差)。kcbjcbicbcbazzyyxx)()(标积标积),cos(cbcbcba两个矢量的点乘，乘积是一个标量，称为标积或内积。如果已知两矢量在直角坐标系中的分量，则这两个矢量的标积等于这两个矢量对应分量的乘积之和。矢积×积，或矢积矢积是一个矢量，其大小等于以两矢量为邻边所作平行四边形的面积，方向满足右手螺旋法则。),sin(cbcbcba并矢并矢又可以表示为并矢与张量张量：就是有坐标的量，它们不随参照系的坐标变换而变化坐标组一个指标的，就是一阶张量，在三维迪卡尔坐标系里，具有三个与坐标相关的独立变量集合，矢量坐标组两个指标的，就是二阶张量矩阵，在三维迪卡尔坐标系里，具有九个与坐标相关的独立变量集合，并矢依次类推，三阶，四阶……本课程中，如无特别指明，张量均指二阶张量矢量的运算符标量的运算符矢量的运算符三矢量的混合积三矢量的混合积)()()(bacacbcba)()()(abccabbca三个矢量的混合积是一个标量，其绝对值等于以这三个矢量为棱的平行六面体的体积。zyxzyxzyxcccbbbaaacba三矢量的矢积三矢量的矢积a三个矢量的矢积，可以表示为括号内两矢量的线性组合，系数分别为括号外的矢量与括号内的另一矢量的点积，括号外的矢量与括号内距离较远的矢量点乘作为系数的一项为正，与较近的矢量点乘作为系数的一项为负。“远交近攻”cba)()(ac)(bcb例：证明证明：是一个矢量，令，有：利用三矢量的矢积公式可以得到，于是可得，))(())(()()(dacbdbcadcbadcmbadcba)()()())(())((])()([)]([dacbdbcadcbdbcadcba))(())(()()(dacbdbcadcbadcm)]([)(dcbamba矢性函数的定义设有数性变量t和变矢，如果对于t在某个范围G内的每一个数值，都以一个确定的矢量和它对应，则称为数性变量t的矢性函数，记作并称G为函数的定义域AtAAAAA概念–常矢：模和方向都保持不变的矢量。零矢量方向任意，作为常矢特例。–变矢：模和方向只要有一个会变化（除零矢量外）即为变矢。矢性函数tAxyzOt矢性函数在直角坐标系中的三个坐标(即它在三个坐标轴的投影)显然都是的函数.矢性函数的坐标为tAtAtAzyxktAjtAitAtAzyx)()()()(矢性函数的坐标表达式为：矢性函数可以用三个有序的数性函数表示矢端曲线，矢径，距离矢量矢径：距离矢量：)()()(tAztAytAxzyxkzjyixOMrtAzxylMokzzjyyixxPMrrer)()()()(10101010zxyo1r0rrMP矢性函数的极限极限定义设矢性函数在t0点的某个邻域内有定义(但t0点可以没有定义)，为一常矢，若都，使得当t满足时，定有，就称为矢性函数当时的极限。记为：0A0000tt0)(AtA0AtA0)(lim0AtAtttAktAjtAitAtAzttyttxtttt)(lim)(lim)(lim)(lim0000zzttyyttxxttAtAAtAAtA000)(lim,)(lim,)(lim000根据极限运算性质可得到矢性函数的极限一个矢性函数的极限，可以用三个有序的数性函数的极限来描述（或表示）。kAjAiAktAjtAitAtAzyxzttyttxtttt000)(lim)(lim)(lim)(lim0000矢性函数的极限、连续、导数、微分，积分一个矢性函数的（），可以用三个有序的数性性函数的（）来描述（或表示）。极限、连续、导数、微分、积分极限连续导数矢性函数的极限、连续、导数、微分，积分一个矢性函数的（），可以用三个有序的数性函数的（）来描述（或表示）。极限、连续、导数、微分、积分微分不定积分定积分当两个矢量运算时，先进行基矢间的运算，然后再进行函数间的运算。基矢之间的运算规则是与运算符相邻的两个基矢之间发生运算关系。基矢运算只有点、叉、并运算。而函数间运算包含了乘、微分、积分等关系。矢量运算的基本方法矢量的基矢运算规则哈密顿算符哈密顿算符是一个矢性微分算符，在运算中具有矢量和微分的双重性质。在直角坐标系中，可表示为其运算规则是：kzjyixkzujyuixuuzkyjxiu)(zAyAxAkAjAiAzkyjxiAzyxzyx)()(kyAxAjxAzAizAyAAAAzyxkjiAxyzxyzzyx)()()(算符A哈密顿算符矢量公式矢量公式在下面的公式中为矢径r证明算子▽的公式例：证明哈密顿算符的运算方法“先微分，后矢量”分为三步：第一步：利用▽的微分性，将所求表达式分成几项，每一项中▽只作用于一个函数上。此时可在▽算符的下标标明算符所作用的函数或者在▽算符不作用的函数下加临时的常数标记)()()(uvuvuvvu)()()(vuuvuvccuvvuuv)(哈密顿算符的运算方法第二步：将算符看成一个矢量，利用矢量的性质重新排列，使得算符紧邻着排在它所作用的函数前面，而把不被作用的函数移到算符作用范围外面或第三步，抹去下标，得到结果)()()(uvuvuvvuvuuvvuvuuvvuuvcccc)()(vuuvuv)(例：证明先微分再矢量去掉下标证毕例：证明先微分再矢量去掉下标证毕例：证明先微分再矢量去掉下标证毕)()()()()(BAABBAABBA)()()(BABABABA)()()(ABABBAAAABABABABBB)()()()()()()()(BAABBAABBABABA)()()()()(BAABBAABBA强调：1：▽是一个算符，不能看成一个矢量2：哈密顿算法的简易运算方法，三个步骤是一个整体，缺一不可，不能单独使用。没有对做微分运算对做了微分运算积分变换式--1高斯公式（奥式公式）上式能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围体积的体积分，反之亦然。采用▽符号来表示，可将上式写成：dVZRyQxPSdAS)(dVASdAS)(kzyxRjzyxQizyxPA),,(),,(),,(积分变换式--2斯托克斯公式上式能把对任意闭合曲线边界的线积分转换为该闭合曲线为界的任意曲面的面积分，反之亦然。采用▽符号来表示，可将上式写成：SyxxZzyldxdyPQdxdzRPdydzQRldA)()()(SlSdAldA)(kzyxRjzyxQizyxPA),,(),,(),,(场如果在全部空间或部分空间里的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，就说在这空间里确定了该物理量的一个场数量场：温度，密度，电位矢量场：电场强度，力，速度稳定场：不稳定场：数量场的等值面和等值线：矢量场的矢量线：曲线的每一点均与对应该点的矢量相切方向导数设M0为数量场u=u(M)中的一点，从点出发引一条射线l,在l上的点M0的临近取一动点M，记，如右图。若当M→M0时比式的极限存在，则称它为函数u(M)在点M0处沿l方向的方向导数。方向导数描述了在特定点处，数量场沿指定方向的变化率M0MlMM0MMMuMuu00coscoscoszuyuxulu定义计算公式其中coscoscoszuyuxulukjilcoscoscos0kzujyuixuG),cos(00lGGlGlu方向导数最大值与方向l方向上的单位矢量取矢量有梯度若在数量场u(M)中的一点M处，存在这样的一个矢量，其方向为函数u(M)在M点处变化率最大的方向，其模也正好是这个最大变化率的数值。则称矢量为函数u(M)在点M处的梯度，记作：定义计算公式Gugrad性质方向导数等于梯度在该方向上的投影，即梯度垂直于过该点的等值面，且指向数量增大的方向ulululgradgrad0uGG通量设有矢量场，沿其中有向曲面S的某一侧的曲面积分叫做矢量场向积分所沿一侧穿过曲面S的通量定义通量可叠加MAMASSnSdAdSAmiimiSiSmiiSmiimSdASdASdAAAAAA111121,则有若散度设有矢量场，于场中一点M的某个邻域内作一包含M点在内的任一封闭曲面，设其所包围的空间区域为，以表其体积，以表从其内穿出S的通量，若当以任意方式缩向M点时，比式之极限存在，则称此极限为矢量场在点M处的散度，记作定义MASVVSdAVSVSdAVASMMlimlimdiv散度表示场中一点处通量对体积的变化率，即该点处源的强度散度的计算公式矢量场kzyxRjzyxQizyxPA),,(),,(,,高斯公式（奥氏公式）由高斯公式dVzRyQxP再根据中值定理，在中总能找到一点，使MVzRyQxPMzRyQxPzRyQxPVAMMM