电动力学课件 3

2020/1/26第二章静电场1第二章静电场（9课时）节次节名小节标题2.1基本方程和唯一性定理基本方程，静电势及其微分方程，边值关系，定解条件，静电场的唯一性定理2.2分离变数法由泊松方程到拉普拉斯方程，直角坐标下二维问题的分离变量解，圆柱坐标下二维问题的分离变量解，球坐标下二维问题的分离变量解2.3格林函数法定解问题，格林函数，格林函数法，格林函数及格林函数法应用举例2.4多极子电场小带电体静电场的多极展开，参考点选择的影响，点电荷丛的多级矩，四极矩及四极场电势计算举例，电多极子在外电场中所受的力和力矩2.5静电能静电能基本公式，小带电体在外电场中的静电能，静电场热力学静电场的典型解法：分离变量法，格林函数法，泰勒展开法严格证明电磁学提到但未曾给出严格证明的结论1.静电场解的唯一性定理2.静电场两条定理与库仑定律的等效性静电场能量1.静电场能量表达式的严格推导2.静电场热力学2020/1/26第二章静电场22.1基本方程和唯一性定理一基本方程(分区均匀线性各向同性介质)0E0DED（2.1.1)（2.1.3)（2.1.2)二静电势及其微分方程（2.1.4)（2.1.9)（2.1.5)E02泊松方程三边值关系0)(12EEn012)(DDn2102211nn（2.1.8)1n【备注】齐次边值关系用于直接求解；非齐次关系事后用来计算界面电荷密度（题目给定非零0的情况例外）22020/1/26第二章静电场32.1基本方程和唯一性定理四定解条件（实现解的唯一、存在）边界条件：解域边界上外加条件标定边界条件的三个原则：1.可测（控）性：标定的物理量可以测量，或可以控制2.自洽性：与基本方程和边值关系不矛盾3.定解问题的适定性：解唯一存在正则条件1.解域内电势处处单值、有限（点电荷或线电荷上例外）2.无限远处的渐近条件(1)电势趋于零（无外场及有限电荷分布情况）(2)均匀场条件，例如：E=E0ezE0z(3)解域内存在无限长柱状电荷：(:线电荷密度)rln022020/1/26第二章静电场42.1基本方程和唯一性定理五静电场唯一性定理采用“倒叙法”：要使解唯一，至少要加上什么边界条件？1.所提边界条件的依据是什么？2.边界条件是否过分而导致无解？3.有几种可供选择的标定边界条件的方案？待加边界条件的定解问题,02,||ijijSjSi0ijijSjjSiinn的静电场解，至少需在边界S给加上何种边界条件才保证解的唯一性？（注意：0和0事先给定，可以为零）分区均匀介质，解域：V，边界S；各介质区体积：Vi，边界Si,iiVVjiijSSS满足2020/1/26第二章静电场52.1基本方程和唯一性定理回答：反证法．设有两个解：1和2；令,21则,02ijijSjjjSiiinn0ijijSjjSiinn,||ijijSjSi将第三格林公式用于第i介质区,得iiiViViSidVdVd22)(σ式中右边第二项消失,据此求得iiSiViddVσ2)(SVdndV2)(对各区求和得(2.1.13)合适的边界条件应确保上式右边面积分为零，从而解唯一2020/1/26第二章静电场62.1基本方程和唯一性定理1.第一类边界条件：给定边界电势S=0;2.第二类边界条件：给定边界电势的法向导数(/n)S=0;[满足高斯定理自洽条件：，参见式(2.1.17)]1.混合边界条件：一部分边界第一类；另一部分边界第二类2.给定各导体的电量0dnS(2.1.18)0|S证明：00SSdndnSVdndV2)((2.1.13)证毕【说明】不能认定0=0,否则用不上条件(2.1.18)！0QdnS(2.1.18)VSdVdn0/2020/1/26第二章静电场72.2分离变量法一由泊松方程到拉普拉斯方程方法实质：将偏微分方程化为若干个常微分方程分别求解适用范围：线性齐次偏微分方程,02Vd||)(4100rrr02泊松方程：特解：令,0则满足拉普拉斯方程(齐次)：【备注】以下限于二维问题，电势仅为两个空间坐标的函数1.与三维问题分离变量法求解过程类似2.电动力学课程一般不涉及三维问题3.基本不涉及数理方程中出现的复杂特殊函数建议：在学习数理方程课程中，可参考有关电动力学参考书，适当扩大分离变量处理复杂问题的范围。例如：J.D.Jackson,经典电动力学,高等教育出版社,北京,2002.2020/1/26第二章静电场82.2分离变量法二直角坐标（x,y,z）下二维问题的分离变量解02222yx)()(),(yYxXyx:),(yx0202222dyYdXdxXdY0112222dyYdYdxXdX2222221,1dyYdYdxXdXxixiebeaxbxaXcossinydycedecYyycoshsinh))(cossin(yyedecxbxa(2.2.9)本征值由齐次边界条件确定(可能为虚数），系数由边值关系和定解条件（边界条件和正则条件）确定2020/1/26第二章静电场92.2分离变量法例2.1如图2－1所示,电场局限于由间距为a的两个半无限平行导体平板和与之垂直、宽度为a的无限长导体端板构成的区域之中,端板和平行板之间彼此绝缘.将两平行导体平板接地,端板加上电势V0,求该区域内的电势分布.图2－1xyaOV0解采用直角坐标,写出通解：0|,|,0||000yyaxxV0;,2,1,/bnan))(cossin(yyedecxbxa由第3个条件得c=0；不妨令d=1.由齐次边界条件(第1个)确定本征值和b：列出边界条件和正则条件：yexasinnnyVaxna00)/sin(|最后由第2个条件确定a：2020/1/26第二章静电场102.2分离变量法nnyVaxna00)/sin(|.,0;),/(4000)/sin(2为偶数为奇数nnnVandxaxnVaayanneaxnnV1210)12(sin1214解毕利用正弦函数的级数展开系数计算公式得)/exp()/sin(aynaxnann(续解例2.1)2020/1/26第二章静电场112.2分离变量法三圆柱坐标（,,z）下二维问题的分离变量解:),(02(2.2.14)本征值m由周期边界条件确定(02),系数由边值关系和定解条件确定011222)()(),(R,122RmddRdd222mdd0222RR01222RR;0,,0,ln00mbambaRmmmmm.0,sincos,0,00mmdmcmdcmmm,)sincos)(())(ln(00000mmmmmmmmdmcbadcba2020/1/26第二章静电场122.2分离变量法图2－2xzE0Oa例2.2半径为a的无限长导体圆柱置于均匀电场E0之中,该电场与圆柱轴线垂直,单位长度圆柱所带电荷为.设柱外为真空,求空间电势分布..解取圆柱坐标系,尝试取通解中m=0,1的项：cos)()/ln(11100bab利用单位长度导体电量为的条件确定b0：列出边界条件和正则条件：1.周期边界条件(已体现在通解的选择之中)2.远处渐近条件:均匀场＋长直线电荷场（部分体现）3.导体带电量和导体表面为等势面(尚未使用)利用导体表面为等势面的条件定出：利用远处（）均匀场条件定出：010cos|EaE200da)2/(00b20211110/aEaababaa2020/1/26第二章静电场132.2分离变量法coscosln220000aEE式中无关紧要的常数0可通过适当选择电势零点确定.解毕四球坐标（r,,）下二维问题的分离变量解:),(r020sinsin11222rrrrr)()(),(Rr0sinsin112rRrrR,)1(2RnndrdRrdrd)1(sinsin1nndddd,)1(nnnnnrbraRcos2])1[(!21)(cosxnnnnnnxdxdnP勒尚德多项式(续解例2.2)2020/1/26第二章静电场142.2分离变量法(2.2.21)0)1()(cos][nnnnnnPrbra).1cos3(21)(cos,cos)(cos,1)(cos2210PPP1.本征值n由关于＝0和电势有限的条件确定：n为正整数；2.对于简单问题，只需取通解中的头几项（系数由边值关系和定解条件确定）：)1(sinsin1nndddd可直接验证它们分别满足2020/1/26第二章静电场152.2分离变量法例2.3半径为a、介电常量为的均匀介质球,置于均匀电场E0之中,球外真空,求空间电势和电场分布..图2－3yzE0Oaxεε0解取球坐标系,尝试取通解中m=0,1的项：cos101raa球内（ra）：球外（ra）：coscos210102rbrbraa共6个待定系数.列出正则条件和边值关系：1.球内电势处处有限（已体现在1的选择之中）2.远处渐近条件:均匀场（部分体现）•球面上的边值关系（尚未使用）ararararrr20121,||,2020/1/26第二章静电场162.2分离变量法余下4个系数由边值关系确定：利用远处（r）均匀场条件定出：.00acoscoscos210010ababaEaaa)cos2cos(cos3120001ababEa,01Ea且不妨令将上述两式按是否含因子cos用整理如下：abaabaEaa002101cos)(200310001cos)2(ababEa左右两边分别等于零，得4个方程；从中解得余下4个系数：030010001002)(,23,0aEbEaba(续解例2.3)2020/1/26第二章静电场172.2分离变量法.,)2(cos)(cos;,2cos3203000000arraErEarrE;,434;,235030020001arrrarrrppEEEEE启示：小带电体近似：p0，因极化或感应造