麦克斯韦速率分布律

内燃机式普列车第四章气体动理论)(vfvO3m2m1m1pv2pv3pv§4-2麦克斯韦速率分布律RTMMpVmolRTpV或平衡条件：系统内部压强、温度、化学组分处处相同。一热力学系统的平衡二态参量和态函数三、状态方程温度T体积V压强pNmMmNMAmolTNRVNpAANRkJ/K1038.123k:波尔兹曼常数nkTp理想气体状态方程1atm=1.013105pa=760mmHg1pa=1N·m-2)(31.8摩尔气体常数kmolJR气体中分子是怎么样运动的？回顾上一节平衡态与理想气体状态方程VNn令：热运动个cm3(1000万倍于我国人口数量级）500m/s碰1010次/s个§4-2麦克斯韦速率分布律热运动热力学系统中大量分子、不停地作无规则的热运动。分子速度的大小、方向千变万化。但是分子的速率分布有无规律?—速率分布函数单个分子的速率无规则，但从大量分子的整体来看，在平衡状态下，分子的速率分布遵循一定的统计规律。例伽尔顿板实验中,设粒子总数为N，i为小槽的序号，Ni为落入第i个小槽的粒子数每个槽内的钢球数与总数之比：NNNNNNi21,()iNfxxN)(xfNNi为确定值1）与狭槽的宽度有关2）与狭槽的位置有关xf)(xf)(xfx0§4-2麦克斯韦速率分布律xf()iNfxxNxxxxxxxx)(xfx0是位置的函数)(xf称为概率分布函数)(vfv01098765)(xfx030405060708090100百米时间20s10s14s12.5s11s16.6s概率分布函数表示随机变量处单位区间内的概率，所以概率分布函数又称为概率密度。x)(xfxNNNdN把速率分成很多相等的间隔+o统计出每个间隔内的分子数N间隔内分子数与分子总数N之比NN某处单位速率间隔内分子数与总数之比v1NN速率分布函数表达式的意义)(xf)(vf)(vf（1）速率分布函数意义是v处单位速率间隔内的分子数占总数的比值。（2）如果分布函数确定，则处于速率内的分子数占总数的比值为)(vf21vvdvvfNNvv21)(（3）速率在0到∞所有分子出现的概率为100%1)(0dvvf三、麦克斯韦速率分布律pv)(vfvO)(vfv麦克斯韦1859年用概率论证明。在平衡态下，气体分子速率分布函数为说明：也称麦克斯韦速率分布律（1）气体分子（原子）的质量；m（2）气体分子（原子）的速率；v（3）为气体的热力学温度；T（4）为波尔兹曼常数。k表示分子速率在v—v+dv间隔内的分子数占总分子数的百分比。表示分子速率在v附近，单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比。麦克斯韦速率分布律讨论：f(v)dv为速率分布图上的一个窄条面积1）f(v)的意义2）f(v)dv的意义vO面积)(vf)(vfvd是速率分布曲线下的一个有限面积，表示速率在v1v2范围内分子数与总分子数之比。4）的意义1)(0vvdf3）的意义1）速率分布曲线下面积为1；2）所有分子在所有速率范围内出现的概率为100%；vO面积面积)(vf)(vfvd1v2v表示单位体积内分布在速率区间内的分子数。例1说明下式的物理意义：n分子数密度，为速率分布函数，解:表示分布在速率区间内的分子数。表示分布在单位体积内，速率区间内的分子数。四、气体的三种统计速率速率分布函数中的极大值对应的分子速率极值条件(1)最概然速率:AAmNTkN2)(vfvpvO04)(223222vedvddvvdfkTmvkTm求解得平衡态下的理想气体,在一定温度下分布在最概然速率附近单位速率间隔内的相对分子数最多。pv气体分子速率的算术平均值。(2)平均速率：)(vfvpvO气体分子速率平方的平均值的平方根。(3)方均根速率：AAmNTkNmkTv332molmolMRTMRT73.132v)(vfvpvvO三种速率均与成正比,与成反比，但三者有一个确定的比例关系;三种速率使用于不同的场合。molMT三个速率的比较8vp---用于讨论速率分布---用于计算分子的平均平动动能2v---用于讨论分子碰撞v三种速率的使用场合地球形成之初，大气中应有大量的氢、氦，但很多H2分子和He原子的方均根速率超过了地球表面的逃逸速率(11.2km/s)，故现今地球大气中已没有氢和氦了。N2和O2分子的方均根速率只有逃逸速率的1/25，故地球大气中有大量的氮气(占大气质量的76%)和氧气(占大气质量的23%)。RTpV理想气体状态方程nkTp或三个速率molMRTmkTpv22molMRTmkTv88molMRTmkTv332麦克斯韦速率分布率上节基本概念回顾pv)(vfvO)(vfv速率分布函数)(vfvO3pv1pv2pv)(1pvf)(2pvf)(3pvf3T2T1T321TTT温度越高，速率大的分子数越多讨论：1、同一气体不同温度下速率分布比较1T2T3T比较的高低321mmm讨论：2、同一温度下不同种气体速率分布比较分子质量越小，速率大的分子数越多。)(vfvO3m2m1m1pv2pv3pv1m2m3m比较的大小KT30011pv2pvKT12002v)(vfoKT3001KT12002例2N2分子在不同温度下的速率分布曲线如图所示，已知在曲线上标出温度2H2OpovHpvv)(vfo2O2H例3同一温度下两种气体和的速率分布曲线如图所示，在曲线上标明气体。解：分子速率在最概然速率vp附近dv速率区间的概率为f(vp)dv，在方均根速率附近dv速率区间的概率为。利用v2p=2kT/m，麦克斯韦速率分布函数f(v)可写为vvfd)(22vkTmvevkTmvf22232)2(4)(例4试求分子在最概然速率vp附近与在方均根速率附近出现的概率之比。2v2222323223414ppvvpvvpevvevv在上式中取v=vp,得取2vv，并注意到22232233pvmkTmkTv2232pvv即代入（1式）22324)(pvvpevvvf（1式）114)(evvfpp（2式）2321234)(evvfp（3式）概率之比即为（2式）比（3式）10.132)()(d)(d)(2122evfvfvvfvvfpp金属蒸汽显示屏狭缝接抽气泵υtL四、分子速率的实验测定1920年，史特恩从实验上证实了麦克斯韦分子按速率分布的统计规律.1934年，中国科学家葛正权对实验装置进行了改进。实验说明：速度选择器两盘都有一个小凹槽，它们的夹角为θ，约20，都以角速度ω旋转，分子束通过两盘，它的速率须满足：vL因凹槽有一定的宽度，故所选择的是某一速率范围内的分子数。调节ω，不同速率的分子会沉积在显示屏上。沉积的厚度不同,对应不同速率区间内的分子数.金属蒸汽显示屏狭缝接抽气泵υtLOv相对粒子数粒子速率分布实验曲线粒子速率分布实验曲线如下所示结论：气体分子速率分布符合麦克斯韦分布率完