数学分析第6章

数学分析电子教案重庆邮电大学数理学院高等数学教学部沈世云[e-mail]第六章不定积分1.不定积分的概念与性质2.换元积分法3.分步积分法4.有理函数的积分5.可化为有理函数的积分6.积分表的使用第一节不定积分的概念及运算法则一、不定积分的概念二、不定积分的基本公式三、不定积分的运算法则四、直接积分法可以说求不定积分的运算与微分运算是互逆的.第一部分我们学习了一元函数的微分,即由已知函数求其导数.但在科学技术中常常知道某函数的导数,要求原来的函数.这就是求原函数或求不定积分的问题.6.1不定积分的概念与运算法则不定积分的概念不定积分的基本公式不定积分的运算法则一、不定积分的概念()()()()()()(())1IxIFxfxdFxfxdxFxfxfxdxI如果在区间上对，都有或，那么函数就称为或在区间定义函.数上的原，(sin)cosxx1(ln)(0)xxxsincosxx所以是的原函数.1ln(0,)xx所以是在区间内的原函数.1.原函数例如关于原函数有以下三个问题：1)f(x)满足什么条件,其原函数一定存在？2)若f(x)有原函数,其原函数有多少个？3)f(x)的全体原函数如何表示?原函数存在定理若f(x)在区间I内连续,则在区间I内一定存在f(x)的原函数.简言之：连续函数一定有原函数.若f(x)有原函数,则f(x)的原函数有无穷多个.若F(x)是f(x)的一个原函数,则f(x)的全体原函数可表示为F(x)+C.(C为任意常数)2.不定积分任意常数积分号被积函数CxFdxxf)()(被积表达式积分变量()()()()()().2IFxfxfxFxCfxfxdx在区间上，若函数是的一个原函数，则的全体原函数称为的，记不定积分作定义21.xdx例求解32,3xx因32.3xxdxC所以21arctan1dxxC.x所以21.1dxx例求221(arctan)'1xx解因1ln||.xdxxCx故当0时有,1.dxx例3求10(ln)',(0,)xxx解当时因所以在内,,110[ln()](1),(,0)xxxx当时因所以在内,,1ln,dxxCx1ln()dxxCx例4设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程.解设曲线方程为()yfx根据题意知2dyxdx22,xdxxC因2(),()fxxCC所以为某个常数由曲线通过点（1，2）1C故所求曲线方程为21yx()2.fxx即是的一个原函数3.不定积分的几何意义()()()()()()FxfxyFxfxfxfx若是的一个原函数,则称的图形为的积分曲线.于是的不定积分在几何上表示的某一积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一切积分曲线组成的曲线簇.显然,若在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线,则这些切线互相平行.yxo0x()yFxC0,,5v质点以初速度铅直上抛不计阻力求它的运例动规律.t即求质点的位置关于时间的分析:函数关系.o0(0)xx()xxtx00,0,ttx设质点抛出时刻为当时质点所在位置的坐标为解建立坐标系如图.,()xxxt坐标为则就是要求的函数.t时刻时(),dxvtdt因22(),dxdvattdtdt又为时刻时向上运动的加速度(),atg按题意,有22.dvdxggdtdt即或1(),()().vtgvtgdtgtC因是的原函数故001(0),,vvvC由得0()vtgtv于是(),()()dxvtxtvtdt再由即是的原函数,故0()()()xtvtdtgtvdt20212gtvtC002(0),,xxxC由得于是所求运动规律为2001,[0,]2xgtvtxtTT其中表示质点落地的时刻.注:1)求导数与求不定积分是互逆运算2)同一函数的不定积分的结果形式会不同可用求导数的方法验证正确性.[()]();()()dfxdxfxdxdFxFxC或[()]();()()fxdxfxFxdxFxC21arctan;1dxxCx21arccot1dxxCx二、不定积分的基本公式实例xx1111xxdxC由于积分运算和微分运算是互逆的,因此可以根据求导公式得出积分公式.(1)()xxeexxedxeC21(arcsin)1xx2arcsin1dxxCx基本积分表(1)();kdxkxCk是常数1(2)(1);1xxdxC(3)ln||;dxxCx21(4)arctan;1dxxCx21(5)arcsin;1dxxCx(6)cossin;xdxxC(7)sincos;xdxxC22(8)sectan;cosdxxdxxCx22(9)csccot;sindxxdxxCx(10)sectansec;xxdxxC(11)csccotcsc;xxdxxC(12);xxedxeC(13);(01)lnxxaadxCaaa且(14)shchxdxxC(15)chshxdxxCx有些被积函数是用分式或根式表示的,这时只需将其化为的形式,再用幂函数的积分公式来求不注：定积分.26.xxdx例求解2xxdx52xdx512512xC7227xC413413xC37.dxxx例求433dxxdxxx解133xC三、不定积分的运算法则（积分法则）()()fxdxgxdx证因()()fxdxgxdx()()fxgx所以等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情形）()(),[()(1)]()()fxgxfxgxdxfxdxgxdx设及的原函数性存在则质(),,()(2)fxkkfxdxkfxdx设函数的原函数存在为非零常数则性质[()][()](),kfxdxkfxdxkfx证因即得结论.732222573xxC2(5).8xxdx例求51222(5)(5)xxdxxxdx解51225xdxxdx321073Cxxxx2232().119dxxx例求2232()11dxxx解22113211dxdxxx3arctanx2arcsinxC32(1).10xdxx例求2133ln||2xxxxC33222(1)331xxxxdxdxxx解231(3)xdxxx21133xdxdxdxdxxx3sinxCex(3cos).11xexdx例求(3cos)3cosxxexdxedxxdx解(2)ln(2)xeCe212.xxedx例求2(2)xxxedxedx解21ln2xxeC2,lnXxeaaadxCa将看作利用公式221.(1)13xxdxxx例求221(1)xxdxxx解22(1)(1)xxdxxx2111dxxx2111dxdxxxarctanln||xCx被积函数变形化为两个函数之和42.114xdxx例求221(1)1xdxx2211xdxdxdxx3arctan3xCxx44221111xxdxdxxx解42211()11xdxxx有理假分式化为整式与真分式之和2t15an.xdx例求2secxdxdx22tan(sec1)xdxxdx解tanxxC2si26n.1xdx求例1cos2dxxdx21cossin22xxdxdx解1(sin)2xxC利用三角恒等式变形221.sincos1722dxxx例求24cscxdx221sincos22dxxx解24(2sincos)22dxxx24sindxx4cotxC例18.求积分解.dsincos2cosxxxx.sincos2cosdxxxx.sincossincos22dxxxxx.)sin(cosdxxxCxxcossin第二节不定积分的计算一、“凑”微分法二、换元积分法四、有理函数的积分表三、分部积分法五、其他类型积分表举例问题xdx2cos,2sinCx解决方法利用一阶微分形式不变性.过程xdx2cos1cos2(2)2xxdx.2sin21Cx一、“凑”微分法（第一类换元法）1cos2d(2)2xx第一类换元公式（凑微分法）说明：使用此公式的目的在于化难为易()[()]()()()uxfxxdxfuduFuC()(),()fuFuux定设具有原函数可导，则理1有换元公式()[()]()()uxfxxdxfudu[()]FxC[()]FxC()(),()()FufufuduFuC证因所以[()][()]()dFxfxxdx又[()]()[()]fxxdxdFx所以()()uxfudu2co21s.xdx求例2cos2cos2(2)xdxxxdx解sin2xC2uxcosudusinuC代回原变量1.322dxx例求111(32),32232xxx解因dxx231dxxx)23(23121112duu1ln2|u|C1ln|32|.2xC11()()()()uaxbfaxbdxfaxbdaxbfuduaa一般地32ux2.xxedx例3求2221(),2xxxedxedx解因2,ux所以令则2221()2xxxedxedx12uedu12ueC21.2xeC22()(),,fxdxgxxdxu=x如果呈则可令一地型般24,cos.1xdxxxdxx例如等221()()2uxgxxdxgudu21.xxdx例4求21,ux解令12,.2duxdxxdxdu则12211()2xxdxudu321223uC3213uC3221(1)3xC2211()().(1)2(1)axbxdxaxbCa12,.2duaxdxxdxdua则于是22(),axbxdxuaxb形如的积分,可令一般地,tan.xdx例5求tanxdx解sincosxdxxln|cos|xC令u=cosx1(cos)cosdxx2,()(sin)cos,(cos)sin1(tan)sin,coscostan.fxgxxgxxgxuxuxxux若可表成形如或的函数,则分别可令或一般地cotln|sin|xdxxC类似可得221.6dxax例求22221111()dxdxxaxaa解211()1()xxaada1arctan.xCaachch()sh7xxxxdxadaCaaaa例练习1求.25812dxxx解dxxx25812dxx13413122341341312xdx.34arctan31Cx220).dxaax求（例822211()dxdxaxaxa