数学分析第4章

数学分析电子教案重庆邮电大学数理学院高等数学教学部沈世云[e-mail]第二篇单变量微积分学第一部分单变量微分学第四章导数与微分在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的变化率。如物体的运动速度，电流强度，化学反应速度及生物繁殖率等，所有这些在数学上都可归结为函数的变化率问题，即导数。本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中两个最重要的基本概念——导数与微分。导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一步深化。第一节导数的引进与定义•导数的引进•导数的定义及几何意义一、导数的引进1.速度问题0tt,0时刻的瞬时速度求tt如图,,0tt的时刻取一邻近于,t运动时间tsv平均速度00)()(tttsts).(20ttg,0时当tt取极限得tstvt00lim)(瞬时速度.0gt,)(tss设位置函数为2t)(tlim00gtt以自由落体为例.f(t),s,0时的运动速度求在物体移动路程一般地ttttt:t00)t(f)tt(fs00t)t(f)tt(fts00,]tt,t[00内的平均速度为物体在tslim0t.t0时的瞬时速度为物体在类似地2.切线问题割线的极限位置——切线位置播放T0xxoxy)(xfyCNM如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.极限位置即.0,0NMTMN).,(),,(00yxNyxM设的斜率为割线MN00tanxxyy,)()(00xxxfxf,,0xxMNC沿曲线MT切线的斜率为.)()(limtan000xxxfxfkxx二、导数(derivative)的定义及几何意义,)(,)(,)(,)()(lim),(,),()(00000000000xydxdyxxfxxfxxfxxfxUxxxUxxfyxxx或记为点的导数在且称极限值为点可导在则称存在若且内有定义的某个邻域在点设函数1.定义.)(00xxdxdfxf或导数也可记为即xxfxxfxyyxxxx)()(limlim00000其它形式.)()(lim)(0000hxfhxfxfh.)()(lim)(0000xxxfxfxfxx.)0()(lim)0(0xfxffx特别地.)(,lim00处不可导在点则称不存在若xxfyxyx.)(,)(,lim000xfxxfyxyx并记为无穷大处导数为在点则称若).)((0轴处切线垂直于在点即曲线xxxfy关于导数的说明：★导数概念是概括了各种各样的变化率而得出的一个更一般、更抽象的概念，它撇开了变量所代表的特殊意义，而纯粹从数量方面来刻画变化率的本质★.,0慢程度而变化的快因变量随自变量的变化反映了它处的变化率点导数是因变量在点x★平均变化率为端点的区间上的和在以是xxxyxy002)右导数(right–handderivative)2.单侧导数1)左导数(left–handderivative);)()(lim)()(lim)(0000000xxfxxfxxxfxfxfxxx;)()(lim)()(lim)(0000000xxfxxfxxxfxfxfxxx定理.)()()(000xfxfxf存在★.)(,)(内可导在开区间就称函数处都可导内的每点在开区间如果函数IxfIxfy★.)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfIx或记作的导函数这个函数叫做原来函数导数值的一个确定的都对应着对于任一xxfxxfyx)()(lim0即.)()(lim)(0hxfhxfxfh或.)()(00xxxfxf显然有如果)(xf在开区间ba,内可导，且)(af及)(bf都存在，就说)(xf在闭区间ba,上可导.解xxxxxx2202)(lim)(xxxxx20)(2limxxxx2)2(lim02(),4.yfxxx例1求的导数并求的导数8)4('f例2.0)(处的可导性在讨论函数xxxf解xyxyo,00)(xxxxxfxxxfxffxx00lim)0()(lim)0(,1xxxfxffxx00lim)0()(lim)0(.1),0()0(ff即.0)(点不可导在xxxf例3.0)(010)(2处的可导性在讨论，设xxfxexxxfx解xxxfxfxx0lim)0()(lim200,)0(0fxexfxfxxx1lim)0()(lim00,)0(1f),0()0(ff即.0)(点不可导在xxf3.可导与连续的关系证,x)x(f0可导在点函数存在)x(fxx)x(f)x(flim000xx0.)(0连续在点函数xxf.,)(xf(x)y00反之未必连续在可导在性质xxf0))x(f)x(f(lim0xx00)xx(lim0xx0)x(f)x(flim0xx0#推论：不连续函数一定不可导.,0)(但不可导处连续在函数xxxf如例1oxy)(xfyT0xM1)几何意义)(,tan)(,))(,()()(0000为倾角即切线的斜率处的在点表示曲线xfxfxMxfyxf切线方程为法线方程为).)((000xxxfyy).()(1000xxxfyy4、导数的几何意义与物理意义切线问题21.yxx例4求曲线在处的切线方程和法线方程解由导数的几何意义,得切线斜率为1xky21()xx12xx2.所求切线方程为法线方程为12(1),yx11(1),2yx210.yx即230.即yx11,xy2.物理意义非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度..lim)(0dtdststvt交流电路:电量对时间的导数为电流强度..lim)(0dtdqtqtit非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度.);()()1(xfxxfy求增量;)()()2(xxfxxfxy算比值.lim)3(0xyyx求极限/1()()yfxCCy例为常数，求解x)x(f)xx(flimxylim)x(f0x0xxCClim0x.0.0)C(即用定义求函数导数的步骤第二节简单函数的导数例2.)(sin)(sin,sin)(4xxxxxf及求设函数解hxhxxhsin)sin(lim)(sin022sin)2cos(lim0hhhxh.cosx.cos)(sinxx即44cos)(sinxxxx.22例3.)(的导数为正整数求函数nxyn解hxhxxnnhn)(lim)(0]!2)1([lim1210nnnhhhxnnnx1nnx.)(1nnnxx即更一般地)(.)(1Rxx例如,)(x12121x.21x)(1x11)1(x.12x例3幂函数的导数.')(1xyxy为任意实数).()'('1Nnnxxynn特别，).0(1)1(');0(21)'('2xxxyxxxy时，当证明0:xxxxxxxxxxyxx1)1(lim)(lim'100xxxxxxxxxx)1ln()1ln(1)1(lim10.)1ln())1)1((1ln(1)1(lim110xxxxxxxxxxx.)(lim)(lim)0(',0100xxxfxxx时当.,0)0(',1公式成立f.,1)0(',1)(,11公式成立fx.0,)0(',1不可导函数在xf例4.)1,0()(的导数求函数aaaxfx解haaaxhxhx0lim)(haahhx1lim0.lnaax.ln)(aaaxx即特别地.)(xxee例5.)1,0(log的导数求函数aaxya解hxhxyaahlog)(loglim0xxhxhah1)1(loglim0hxahxhx)1(loglim10.log1exa.log1)(logexxaa即特别地.1)(lnxx例6.,)2,21(1方程和法线方程并写出在该点处的切线斜率处的切线的在点求等边双曲线xy解由导数的几何意义,得切线斜率为21xyk21)1(xx2121xx.4所求切线方程为法线方程为),21(42xy),21(412xy.044yx即.01582yx即第三节求导法则一、导数的四则运算定理并且可导处也在点分母不为零们的和、差、积、商则它处可导在点如果函数,)(,)(),(xxxvxu).0)(()()()()()(])()([)3();()()()(])()([)2();()(])()([)1(2xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu])()([xvxu)(')('xvxuxxvxxvxxuxxuxx)()(lim)()(lim00xxvxuxxvxxux)]()([)]()([lim0证明1):例1求的导数xxya3log)1,0(aa解:xaxxxya213ln1)3()(logxax23ln1xxvxxuxxvxxuxvxux)()()()(lim])()([0证明2):xxvxuxvxxux)()()()(lim0xxvxxvxxuxx)()(lim)(lim00xxuxxuxvx)()(lim)(0)(')()()('xvxuxvxu例2求的导数.xyxcos3解:)sin(3cos3ln3)'(cos3cos)3(xxxxyxxxx)sincos(ln3xxxx例3求的导数xxysin解:xxxxxxxxysin1cos1)1(sin1)(sin2.sincos2xxxx证(3)),0)((,)()()(xvxvxuxf设hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()]()()[()()]()([lim0)()()()()()()()(lim0xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh2)]([)()()()(xvxvxuxvxu.)(处可导在xxf推论;)(])([)1(11niiniixfxf);(])([)2(xfCxCf;)()()()()()()()(])([)3(1121211ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf