3.4 随机变量的独立性

第1页§3.1二维随机变量及其联合分布§3.2边缘分布§3.3条件分布§3.4相互独立的随机变量§3.5两个随机变量函数的分布第三章多维随机变量及其分布3.4随机变量独立性第2页随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念则称X,Y相互独立.也可用分布函数给出等价形式,即)()(),(yFxFyxFYX设X,Y是两个随机变量,若对任意的x,y,有则称X与Y相互独立.它表明,两个随机变量相互独立时,它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积.定义若P(AB)=P(A)P(B),则称事件A,B相互独立.若二维随机变量(X,Y)对任意的x,y,有)()(),(yYPxXPyYxXP§3.4随机变量的独立性3.4随机变量独立性第3页),(yxf其中是X和Y的联合密度，)()(),(yfxfyxfYX几乎处处成立，则称X和Y相互独立.对任意的x,y,有（1）若(X,Y)是连续型r.v，则上述独立性的定义等价于：这里“几乎处处成立”的含义是：在平面上除去面积为0的集合外，处处成立.分别是X的边缘密度和Y的边缘密度.)(),(yfxfYX可以证明如下结论：3.4随机变量独立性第4页（2）若(X,Y)是离散型r.v，则上述独立性的定义等价于：)()(),(jijiyYPxXPyYxXP则称X和Y相互独立.对(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有则相互独立和,)3(YX.)()(也相互独立和YgXf3.4随机变量独立性第5页(1)随机变量X与Y相互独立本质上还是随机事件的相互独立.注意点,PaXbcYdPaXbPcYd如任对实数a,b,c,d，有(2)若X,Y相互独立,则边缘分布可确定联合分布.(3)在实际问题中，如果一个随机变量的取值对另一个随机变量的取值不产生影响，或者影响很小，就认为这两个随机变量是相互独立的。BBXXAA、Y相互独立，则{}与{Y}这两个事件也相互独立（其中，，）。3.4随机变量独立性第6页对离散型随机变量}{}{},{yYPxXPyYxXP概率分布函数)()(),(yFxFyxFYX联合与边缘jijippp条件与边缘jijijipxXyYPpyYxXP}|{,,}|{X与Y相互独立任一变量的条件分布列等于其边缘分布列离散型随机变量的联合分布列等于其边缘分布列的乘积),()()(),(NjiyYPxXPyYxXPjiji要判断X和Y不独立,只需找到X,Y的一对取值(xi,yj),使得{,}{}{}.ijijPXxYyPXxPYy对(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有3.4随机变量独立性第7页12XY01P(X=j)161262162612P(Y=i)1323(1,0)16PXY(1)(0)PXPY(2,0)16PXY(2)(0)PXPY(1,1)26PXY(1)(1)PXPY(2,1)26PXY(2)(1)PXPY,XY因而是相互独立的。XY01P(X=j)12161262162612P(Y=i)1212,XY2.若具有分布律右图，则：(1,0)16PXY(1)(0)121214PXPY(1,0)(1)(0)PXYPXPY故XY因而与不相互独立。,XY1.具有分布律右图，则：例3.4.13.4随机变量独立性第8页试确定常数a与b,使X与Y相互独立.例3.4.2已知随机变量(X,Y)的联合分布列为X1231/31/6a1/9b1/18Y123.4随机变量独立性第9页X-101P1/41/21/4例3.4.3设(X,Y)是二维离散型随机变量，X和Y的边际分布列为:Y01P1/21/2如果P(XY=0)=1，试求(1)(X,Y)的联合分布列；(2)X与Y是否独立？3.4随机变量独立性第10页设(X,Y)的概率密度为其它,00,0,),()(yxxeyxfyx问X和Y是否独立？例3.4.43.4随机变量独立性第11页若(X,Y)的概率密度为其它,010,0,2),(yyxyxf情况又怎样？解：),1(22)(1xdyxfxXyYydxyf0,22)(0x10y1由于存在面积不为0的区域，)()(),(yfxfyxfYX故X和Y不独立.3.4随机变量独立性第12页例3.4.5试证:X与Y相互独立的充要条件是=0.设二维随机变量(X,Y)～N().,,,,2222113.4随机变量独立性第13页我们由两个事件相互独立的概念引入两个随机变量相互独立的概念,给出了两种情况下随机变量独立的条件,希望同学们牢固掌握.如果两个随机变量不独立，讨论它们的关系时，除了前面介绍的联合分布和边缘分布外，常常需要利用条件分布的概念.3.4随机变量独立性第14页随机变量相互独立).()()(),,,(212121nXXXnxFxFxFxxxFnnXXX,,,21如果对任意实数有,,,,21nxxxniiinnxXPxXxXxXP12211}{},,,{模仿二维随机变量,不难写出其它几个关于独立性的等价描述:n个随机变量的独立性定义设有n维随机变量()nXXX,,,21则称随机变量相互独立.nXXX,,,21若()的联合分布函数为nXXX,,,21),,,,(21nxxxF分布函数)(,),(),(2121nXXXxFxFxFn其边缘分布函数为也可类似于二维随机变量——用分布律或概率密度来描述独立性3.4随机变量独立性第15页一般n维随机变量的一些概念和结果112212;,,,,,,nnnnESeXXeXXeXXeSnXXXn维随机变量设是一个随机试验，它的样本空间是设是定义在上的随机变量，由它们构成的一维个随维向量称为机变量。1212112212,,,(,,)(,,,),,,nnnnnnxxxnFxxxPXxXxXxnXXX分布函数对于任意个实数，元函数：称为维随机变量的分布函数。3.4随机变量独立性第16页12121212112212,,,(,,,)1,2,(,,,)1,2,,1,2,,,,nnniinijiinnijnXXXxxxiPXxXxXxjninXXX离散型随机变量的分布律设所有可能取值为称为维离散型随机变量的分布律。111212121212(,,,),,,(,,)(,,)nnnnxxxnnnfxxxxxxFxxxfxxxdxdxdx连续型随机变量的若存在非负函数，使得对于任概意实数率密度3.4随机变量独立性第17页边缘分布如：1212,,,(,,)nnXXXFxxx的分布函数已知，12,,,(1)nXXXkkn则的维边缘分布函数就随之确定。111()(,,,,)XFxFx12(,)1212(,)(,,,,)XXFxxFxx11223111122,,()(,,,)nniiinniiiiPXxPXxXxXx12123411221122,,(,)(,,,)nniiiinniiiiPXxXxPXxXxXx111223()(,,,)Xnnfxfxxxdxdxdx12(,)121234(,)(,,,)XXnnfxxfxxxdxdxdx3.4随机变量独立性第18页相互独立12121212,,,,(,,,)()()()nnnXXXnxxxFxxxFxFxFx若对于所有的有：12,,,nXXX则称是相互独立的1212,,,,,,mnXXXYYY与的独立性12112,,,(,,),mmXXXFxxx设的分布函数为12212,,,(,,),nnYYYFyyy的分布函数为12121212,,,,,,,(,,,,,)mnmnXXXYYYFxxxyyy的分布函数为1212112212(,,,,,,,)(,,)(,,)mnmnFxxxyyyFxxxFyyy若1212,,,,,,mnXXXYYY称与相互独立。3.4随机变量独立性第19页定理1：定理2：1212,,,,,,mnXXXYYY设与相互独立，1,2,,1,2,,ijXimYjn则与相互独立。1212,,,,,,mnhxxxgyyy若和是连续函数，1212,,,,,,mnhXXXgYYY则和相互独立。1212,,,,,,mnXXXYYY设与相互独立，3.4随机变量独立性第20页这一讲，我们由两个事件相互独立的概念引入两个随机变量相互独立的概念.给出了各种情况下随机变量相互独立的条件，希望同学们牢固掌握.小结3.4随机变量独立性第21页小结}{}{},{yYPxXPyYxXP概率分布函数)()(),(yFxFyxFYX联合与边缘jijippp)()(),(yfxfyxfYX条件与边缘jijijipxXyYPpyYxXP}|{,,}|{)()(),()(yfxyfxfyxfYXYXYX离散型连续型离散型连续型X与Y相互独立}.{}{},{jijiyYPxXPyYxXP.)()(,也相互独立和则相互独立和YgXfYX3.4随机变量独立性第22页[作业]P8618，20，22，29，36