3.4-最常见的随机过程或随机模型

1最常见的随机过程或随机模型2Brown运动或Wiener过程二项过程Poission过程白噪声过程自回归过程移动平均过程混合自回归移动平均过程利率期限结构或均值回复模型ARCH类模型主要内容31979年Cox、Ross和Rubinstein利用二项过程提出了二叉树期权定价模型，用以构造股票价格运动过程，进行股票期权定价分析。目前，二叉树模型已被广泛应用于金融资产定价领域，并为直观理解金融资产价格的复杂随机行为提供了最佳认识工具，为金融计算提供了可行的数值方法。二项过程4二项分布是指随机变量满足概率分布其中，k=1,2,…，0p1,q=p-1。二项过程实质上是将二项分布作为一个过程来描述金融资产价格变化的。()(1)kknknPξkCpq-==-5假设股票价格在t时刻为S(t)，当时间变化到t+t时，价格要么以概率p从S上涨到uS(u1)，要么以概率q下降到dS(d1)；时间为t+2t时有三种可能：u2S、udS、d2S，以此类推，见树型结构6显然，在t+t时刻，股票的期望价格为E(St+t)=puS+(1-p)dS，在t+2t时刻，股票的期望价格为：在t+nt时刻，股票的期望价格为：SdpudSppSupSEtt22222)1()1(2)(20222)1(iiiiiiSduppc，)(tntSE0(1)niiniininiCppudS--==-å7引言：Brown运动是用以描述连续时间下金融资产价格运动的，但金融资产价格并不都是随时间而连续变化的，有时会出现跳跃，Poission过程就是经常用以模拟跳跃的一类随机过程。Poission过程8计数过程：如果用t表示[0,t]内随机事件发生的总数，则随机过程{t}t≥0称为计数过程，且满足：(a)t0；(b)t是整数值；(c)对于任意两个时刻0st,有st；(d)对于任意两个时刻0st,t-s等于在区间中发生的事件的个数。,st9若在不相交的时间区间中发生的事件个数是独立的，则称计数过程有独立增量。若在任一时间区间中发生的事件个数的分布只依赖于时间区间的长度，则称计数过程有平稳增量。显然，t为一个正整数，0=0；对于任意的时刻0st,有st,t=ts表示s到t时间段内出现的事件数目。10设随机过程{t}t≥0是独立增量过程，如果满足(a)0=0;(b){t}t≥0是独立增量过程（t=ts）；(c)对任一长度为t的区间中事件的个数服从均值为(ts)的Poission分布，即对一切st0，有则称{t}t≥0为参数为(ts)的Poission过程。直接计算可知，Et=Vt=t，即，所以表示单位时间内事件出现的平均次数，因而也常被称为发生率或强度。定义9泊松过程0,2,1,0,!)()()(kkestkPstkkst11随机过程{t}t≥0称为白噪声过程，若Et=0，且显然，白噪声过程一个平稳的纯粹随机过程，在金融研究中主要用于模型无法解释的波动。白噪声过程0,00,)(2jjEjtt12按时间次序排列的随机过程{t}(t=1，2，…)称为时间序列。若时间序列是相互独立的，则说明事件后一刻的行为与前一刻毫无关系，即系统无记忆性。若情况相反，则前后时刻事件之间就有一定的依存性。其中最简单的关系就是事件后一刻的行为只与前一刻的行为有关，而与其前一刻以前的行为无直接联系，即ξt主要与t-1相关。从记忆的角度理解，是最短的记忆，即一期记忆，描述这种关系的模型称为一阶自回归过程，记为AR（1），即t=at-1+t，t=1,2,…，其中，a为常数，t为白噪声过程，称为扰动项。当|a|1时为平稳过程；a=1时称为随机游走过程；|a|1为非平稳过程。自回归过程13更一般地，m阶自回归过程{t}(t=1，2，…),记为AR（m）,满足：t=a1t-1+a2t-2+…+amt-m+tt=1，2，…m阶自回归过程具有m期记忆或者说m阶动态性。若滞后算子多项式1a1z…-amzm=0的根在单位圆之外时，为平稳过程。否则，就是非平稳的。14自回归过程表示在t时刻的事件t只与其以前的响应t-1，t-2，…，t-m有关，而与以前时刻的扰动无关。若时间序列{t}与其以前的冲击或扰动t-1，t-2，…，t-n有关，而与以前时刻的响应无关，那就是n阶移动平均过程，记为MA(n),即t=b0+t+b1t-1+b2t-2+…+bnt–nt=1，2，…当|bj|1时，表示冲击在一段时间内会消失；|bj|=1表示冲击永远保持下去；|bj|1表示冲击将放大，其中i=1，2，…,n。移动平均过程15若时间序列{t}在t时刻，不仅与其以前的自身值有关，而且与以前时刻的冲击或扰动存在着一定的依存关系，则称为混合自回归—移动平均过程，其一般形式（记作ARMA(m，n)）为t=a1t-1+a2t-2+…+amt-m+t+b1t-1+b2t-2+…+bnt–n混合自回归—移动平均过程16在金融市场中，许多情况下的金融资产价格的变化，随着时间的推移常常趋于某个长期平均水平，称为均值回复现象，例如利率的变化就常常如此。具体的利率期限结构或均值回复模型定义为其中λ0，ε服从标准正态分布。当股票价格S低于均值μ时，μ-S取正值，即S具有正的漂移率，dS将会变为正值。反之，当股票价格S高于均值μ时，μ-S取负值，即S具有负的漂移率，dS将会变为负值。尽管变化过程中价格可能会偏离均值μ，但长期来看S都会向均值μ靠近。过程中偏离的程度由参数λ0决定的。注意：资产价格表现出来的某种长期可预测性，与市场有效性的假定是不符合的。利率期限结构或均值回复模型dtSdtSudS)(17事实上，现实中的金融资产的收益变化和分布主要呈现出以下基本特征：金融资产的收益变化和分布表现出明显的非线性特点；与正态分布相比，金融资产的收益分布的尾部通常较厚，方差小的变量绝大多数集中在均值附近，而方差大的变量则多集中于分布的尾部；收益的波动性有时很大，有时却很小，而且有关波动性的冲击常常要持续一段时间才会消失，即同时呈现出集聚性和持久性，这表明资产收益序列具有条件异方差的特性；金融资产收益呈现出明显的自相关性；金融市场尤其是股票市场，价格运动与波动性是常为负相关的，也就是负的回报要比正的回报导致更大的条件方差，即具有非对称的杠杆效应。ARCH类模型18传统的随机过程和模型对金融资产收益的模拟和描述主要是线性的，不能很好处理上述特征，因而也常常无法准确估计和预测金融资产的收益及其波动性。ARCH类模型一般由条件均值方程和条件方差方程两个方程组成。但由于此类方程主要用于估计波动性和相关性，所以重点在条件方差方程，而条件均值方程常常比较简单.rt=μ+t其中μ为由样本均值估计的无条件均值，扰动项t表示非预期收益的平均偏差。扰动项t常被假设为正态分布、t分布、混合正态分布和广义误差分布等，对应的模型就称为正态GARCH模型、t分布GARCH模型、混合正态分布GARCH模型和广义误差分布GARCH模型。191982年，Engle提出的ARCH模型的一般形式为其中，00，1≥0，…，p≥0，简记为ARCH（p）。ARCH（p）表示具有p期记忆，即通过对过去p期非预期收益t-1,…,t-p的平方的移动平均来模拟收益序列的条件异方差性。ARCH模型的缺陷：为保证ARCH模型的精确性，往往需要用非常高的阶数,即p值很大，而高的阶数就意味需要有更多的参数估计、更复杂的计算和更大容量的样本为保证方差的非负性，必须要求模型中的参数为正，但在较大的p值下难以保证ARCH模型,221102ptptt20为修正ARCH模型的缺陷，Bollerslev于1986提出了GARCH模型，即i0，i=0,1,2,…,p；k0，k=1,2,…,q,简记为GARCH（p，q）,其中i(i=1,2,…,p)为回报系数，k(k=1,2,…,q)为滞后系数。GARCH（p，q）等价于ARCH（∞）模型，但待估参数大幅度减少，从而更加方便实用。另外，在GARCH（p，q）模型中，回报系数与滞后系数的大小决定着波动序列的形状，大的回报系数意味着波动性对市场运动反应非常敏感，大的滞后系数表明对条件方差的冲击要经过一段时间才会消失，因此，两者的结合反映出了波动序列的特性。GARCH模型222011,pqtitiktkik21在实际中，GARCH（1，1）为最常用的模型，即当+1时，GARCH（1，1）模拟的过程是二阶平稳的；（若+比较大，说明波动具有持续性）当+=1时，称GARCH（1，1）为方差无穷的模型，简记为IGARCH。IGARCH模型表示收益无条件方差并不存在，方差的多步预测不靠近无条件方差。当0=0时，IGARCH模型相当于一个无限期的指数加权移动平均模型（EWMA）。22201111ttt22设某项资产组合的收益率时间序列为{rt}，同时把t时刻所拥有的历史信息记为，一个典型的情形是是资产组合历史收益率的所有线性函数构成的一个集合。GARCH类模型根据历史信息对资产组合的收益率进行建模，定义rt的条件均值和条件方差为GARCH(1,1)模型---举例说明1tF1tF1tttFrE1212ttttttFrEFrVar23据此，可以把资产组合的收益率rt表达为其中，{εt}是一个均值为0、方差为1的独立同分布随机变量序列，我们总是在信息Ft－1下假设εt的条件分布。上式中的at被称为t时刻的冲击，可以反映新到达市场的信息对资产组合收益率产生的影响（或冲击）。tttarttta24由于是新到达的信息，因此基于历史信息Ft－1无法知道其确切值，但是GARCH类模型认为能够基于历史信息Ft－1确定其条件分布函数。显然，根据上述at的定义知，at的条件方差就等于资产组合收益率的条件方差，即GARCH（1，1）模型假设资产组合收益率的条件方差满足模型，这里我们只讨论的情况。112tttttFaVarFrVar1,1,0111122201111ttt25容易看出：a1越大，则市场前一期的冲击at－1（无论是正向冲击还是负向冲击）所导致的当期波动率的增加幅度就越大；Β1越大，则市场一次发生的冲击对以后各期波动率的影响就越持久。由于GARCH（1，1）模型中的系数α1和β1都不可能是负值，所以前期波动率的增加以及市场上发生的一次大的冲击都能够导致当期市场波动率的增加。于是，如果市场前一期的冲击at－1（无论是正向冲击还是负向冲击）很大，从而导致市场当期的波动率σt很大，这意味着市场很可能会在当期出现一个很大的冲击at。由此我们可以得出如下结论：GARCH（1，1）模型能够生成从而也可以解释波动率集聚现象，而这一点也已经被经验证据所证实。22201111ttt26上式表明，当at服从正态分布时GARCH（1,1）也能够描述资产组合收益率的厚尾分布特征，但是现实经验表明，这还不能充分刻画出资产组合收益率的厚尾程度。于是，人们又进一步提出了具有厚尾分布特征的εt，例如t-分布、广义误差分布等。通过假设εt服从不同形式的条件分布，得到了不同的GARCH模型。27εt的条件分布服从t-分布的情况，此时εt的概率密度函数为其中，是Gamma函数；v是t-分布的自由度，当v＝1时，t-分布就是Cauchy分布；当v≤2时，t-分布的方差是无限的，而v2时，t-分布具有有限方差；当v3时t-分布具有有限偏度；当v4时，t-分布具有有限峰