第二章 初等模型与常用建模方法(四、市场经济中的蛛网模型)

第二章初等模型与常用建模方法§2.8市场经济中的蛛网模型§2.7线性代数法建模教学目标与重难点•教学目标：1.对市场经济中的供应量与价格之间相关的规律问题能用极限的思想建模；2.会运用线性代数法法对染色体遗传问题、投入产出等相关问题进行数学建模。•重点：1.数学建模的方法和步骤的进一步运用；2.运用极限思想和线性代数法进行建模•难点：运用极限思想进行建模2．8市场经济中的蛛网模型1.问题与背景随着市场经济的逐步确立与不断完善，人们已越来越意识到按市场经济规律办事的重要性。例如，在市场经济中存在这样的循环现象，一个时期某种商品供过于求，则会导致价格下跌，而价格下跌又会引发该商品生产的减少，使下一个时期该商品供不应求从而导致价格的再度上扬。在没有外界干预情况下，这种现象将如此循环下去。这样的需求和供应关系决定了市场经济中商品的价格和数量必然是振荡的。在现实生活中这样的振荡会出现不同的形式，有的振幅渐小趋向比较平稳，有的则振幅越来越大使得政府不得不做必要的干预。虽然，今天的人们已不再为各种商品价格的小幅振荡而惊恐，但作为企业，商家乃至个体经营者就很关心市场经济趋于稳定的条件，以便把握科学规律使自己更好地生存与发展。供大于求现象价格下降减少产量增加产量价格上涨供不应求2．8市场经济中的蛛网模型问题商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定描述商品数量与价格的变化规律2蛛网模型与差分模型本段先用图形方法建立所谓的“蛛网模型”，对上述现象进行分析，讨论市场经济趋于稳定的条件。设第n个时段某种商品的数量为nx，价格为ny，,2,1n，其中1个时段相当于商品的1个生产周期。由于同一时段的数量确定该时段的价格，可设为)(nnxfy(1)而ny又决定下一时段的生产量，即可设为)(1nnyhx或)(1nnxgy（2）在经济学中，（1）称为需求函数，它反映消费者对这种商品的需求关系，由商品的数量越多价格越低可知（1）所对应的是一条下降曲线，称为需求曲线；（2）称为供应函数。它反映生产者的供应关系，由价格越高生产量才越大可知(2)所对应的是一条上升曲线，称为供应线。(1)消费者的需求关系)(kkxfy(2)生产者的供应关系减函数增函数供应函数需求函数)(1kkyhxgfxy0x0y0P0产销关系呈现为：332211yxyxyx这样得到一系列的点),(111yxp，),(122yxp，),(223yxp，),(234yxp，…，即点12kp的坐标为（kx，ky），点kp2的坐标为（1kx，ky）（k=1，2，…）。如图1与图2所示。图1图2yx0p1p2p3p4p5p0yx0p1p2p3p4p5p0fgxy0fgy0x0P0设x1偏离x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y332211xyxyx0321PPPP00,yyxxkkP0是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点gfKKxy0y0x0P0fg)(kkxfy)(1kkyhx)(1kkxgy00,yyxxkkgfKK曲线斜率规律直观描述0321PPPP图1图2在图1中，这些点都按箭头所示方向趋向两条曲线的交点),(000yxP，表明0P是稳定平衡点，意味着商品的数量和价格将趋向稳定；而在图2中0P是不稳定平衡点。因两图中折线1P2P3P4P…形似蛛网。在经济学中，把这种用需求曲线和供应曲线分析市场经济稳定性的图示方法称为蛛网模型。利用方程可以将蛛网模型的结果用公式表示出来。若1P点靠近0P点，在0P点附近取函数f和h的线性近似即取))(()()(000xxxfxfxfkk，))(()()(000yyyhyhyhkk，设(1)、(2)式分别近似为)(kkxfy)(1kkyhx)0()(00xxyykk)0()(001yyxxkk消去，可得ky)(001xxxxkk)()(0101xxxxkk进而，有该式就是蛛网模型的差分方程形式（4）（3）3模型求解与参数的意义将(3)式对k递推可有011])(1[)(xxxkkk由此得，要当k时0xxk，即0P点稳定，条件是1或1（4.1）而要k时kx，即0P点不稳定，条件是1或1（4.2）根据导数的经济意义可知，需求函数f的斜率（取绝对值）表示商品的供应量减少1个单位时的价格的上涨幅度即反映消费者对商品需求的敏感程度；供应函数h的斜率表示价格上涨一个单位时下一时段商品供应的增加量，反应生产经营者对商品的价格的敏感程度。据此容易对市场经济稳定与否的条件（4.1）（4.2）做出解释：当固定时，越小，需求曲线越平，表明消费者对商品需求的敏感程度越小，越有利于经济稳定；当固定时，越小，供应曲线越陡，表明生产者对价格的敏感程度越小，越有利于经济稳定。反之，当、较大，表明消费者对商品的需求和生产者对商品的价格都很敏感，则会导致经济不稳定。fKgK/1gfKKgfKK方程模型与蛛网模型的一致)(00xxyykk~商品数量减少1单位,价格上涨幅度)(001yyxxkk~价格上涨1单位,(下时段)供应的增量考察,的含义~消费者对需求的敏感程度~生产者对价格的敏感程度小,有利于经济稳定小,有利于经济稳定结果解释xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格1经济稳定结果解释当市场经济不稳定时，政府有两种干预办法。一种办法是使尽量小，极端情况是令=0，即需求曲线水平，这时不论供应曲线如何（即不管多大），总是稳定的。这相当于政府控制物价，无论商品数量多少，命令价格不得改变。另一种办法是使尽量小，极端情况是令=0，即供应曲线竖直，于是不论需求曲线如何（不管多大），也总是稳定的。这相当于控制市场上的商品数量，当供应量少于需求时，政府从外地收购或调拨，投入市场；当供过于求时，政府收购过剩部分，维持商品上市量不变。结果解释经济不稳定时政府的干预办法1.使尽量小，如=0以行政手段控制价格不变2.使尽量小，如=0靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0x0gf结果解释需求曲线变为水平供应曲线变为竖直4数值例子据统计，某城市前一年度的猪肉产量为30万吨，肉价为6元/公斤。本年度生产猪肉25万吨，肉价为8.00元/公斤，已知下一年度的猪肉生产量为28万吨。若维持目前的消费水平与生产模式，并假定猪肉产量与价格之间是线性关系，问若干年后猪肉的生产量与价格是否会趋于稳定？若能够稳定，求出稳定的生产量和价格。设第k年的猪肉产量为kx，猪肉价格为ky，则有1p（30，6），2p（25，6），3p（25，8），4p（28，8），…根据线性假设，需求函数是直线，且1p、3p在此直线上，有,2,11852kxykk同理可有供应函数为（2p、4p在此直线上）,2,116231kyxkk由(3.2.6)可知，153，即猪肉的产量和价格都会趋于稳定。且有875.26lim1kkx（万吨）25.7lim1kky（元/公斤）即猪肉产量稳定在年产26.875万吨，猪肉价格稳定在每公斤7.25元。5模型的推广如果生产者的管理水平更高一些，他们在决定商品生产数量1kx时，不是仅根据前一时段的价格ky，而是根据前两个时段的价格ky和1ky。为简单起见不妨设根据二者的平均值)(121kkyy。于是供应函数(2)式表为)2(11kkkyyhx(2’)在0p点附近取线性近似时（3）式表为：)2(20101yyyxxkkk（3’）含义不变。又设需求函数仍由（1）、（2）式表示。则由（3）、（3’）式得到：,2,1)1(2012kxxxxkkk(3〞）（3〞）是二阶线性差分方程。为寻求k时0xxk，即0p点稳定的条件，不必解方程(3〞)，只须利用判断稳定的条件——方程特征根均在单位圆内。因为方程(3〞)的特征方程为022容易算出其特征根为48)(22,1由12,1得到0p点稳定的条件为2（3.3）与原有模型中0p点稳定的条件（3.1）式相比，保持经济稳定的参数、的范围放大了（、的含义未变）。可以想到，这是生产经营者的生产管理水平提高，对市场经济稳定起着有利影响的必然结果。