第二章 单相交流电路

第二章单相交流电路交流发电机所产生的电动势和正弦信号发生器所输出号电压都是随时间按正弦规律变化的。因此，正弦电路是电工学中很重要的部分。本章即讨论有关正弦电路的一些基本概念、基本理论和基本分析方法。第二章单相交流电路§2-1正弦交流电的基本概念•前两章所讨论的都是直流电路，其中的电流和电压的大小和方向都是不随时间变化的。0I,Ut正弦电压、电流和电动势的大小和方向都是按正弦规律周期性随时间变化的，统称为正弦交流电。其波形图可用正弦曲线来表示：0i,u,et+_Tf1角频率(频率)、幅值和初相位为正弦量的三要素。一.频率与周期正弦量变化一次所需的时间(秒)称为周期T(单位:s)。每秒钟时间内变化的次数称为频率f(单位:Hz)。频率是周期的倒数，即§2-1-1正弦量的三要素0itsin()miiIt正弦量每秒钟变化的弧度数称为角频率ω(单位:rad/s)。有效值是从电流的热效应来规定的：在同一周期时间内，正弦交流电流i和直流电流I对同一电阻具有相同的热效应，就用I表示i的有效值。二.幅值与有效值正弦电压与电流正弦量在任一瞬间的值称为瞬时值，用小写字母表示，如e、i、u分别表示电动势、电流和电压的瞬时值。瞬时值中最大的值称为幅值或最大值，如Em、Im、Um分别表示电动势、电流和电压的幅值。说明或计量正弦交流电时一般不用幅值或瞬时值，而用有效值。如民用电的220V和工业用电的380V。可以证明：2mII2mUU2mEE三.相位及初相位•正弦量是随时间变化的，选取不同的计时零点，正弦量的初始值就不同。为加以区分引入相位及初相位的物理量。0it+_正弦电流的一般表达式为其中(t+i)为正弦电流的相位，i称为初相位。两个同频率正弦量的相位比较：sin()miiItsin()sin()mumiuUtiIti定义=（ωt+u）-（ωt+i）=(u–i)为相位差或初相差。正弦电压与电流当=(u–i)0时，称u比i超前角；当=(u–i)0时，称u比i滞后角；当=(u–i)=0时，称u与i同相。当=(u–i)=±180°时，称u与i反相，或相差180°sin()sin()mumiuUtiIt(a)u与i同相(b)u超前iu、iωtOuiu、iωtOuiu、iωtOuiu、iωtOui(c)u与i反相(d)u与i正交研究多个同频率正弦量时,可以选其中某一正弦量为参考量，令其初相ψ=0，其它各正弦量的初相位即为各正弦量与参考量的相位差。§2-2.正弦交流电的相量表示法•正弦量具有幅值、频率及初相位三个基本特征量，表示一个正弦量就要将这三要素表示出来。•表示一个正弦量可以多种方式，这也正是分析和计算交流电路的工具。①三角函数表示法：)sin(tUum0ut+_②正弦波形图示法:(见右图)③相量表示法。相量及相量图ImO+1+jΨiΨiOωtiIm(a)以角速度ω旋转的复数(b)旋转复数在虚轴上的投影ω正弦量相量sin()miiItmmiII2sin()iItiII•复数Im∠ψi对应正弦量i=Imsin（ωt+ψi）模Im表示了正弦量的幅值，ψi表示了正弦量的初相。表示正弦量的复数称为相量。0+1+jImψiImψimmiII•如：i=Imsin（ωt+ψi）可用下图表示：iII任何一个正弦量都可以用平面直角坐标系上的矢量表示。矢量的长度表示正弦量的最大值或有效值；矢量与正横轴的夹角表示正弦量的初相位。说明：相量只是正弦量的一种表示方法，并不等于正弦量。多个同频率的正弦量可按各自的幅值（或有效值）和初相，用矢量图画在同一坐标的复平面上。——相量图。画相量图时，注意：1、有相同单位的各相量，其矢量长度要按同一比例尺画；而不同量纲的各相量则无此要求。2、同一相量图中，各相量用最大值相量还是有效值相量要统一。3、画相量图时，可先确定一个相量为参考相量，画在横轴正方向上，再按各相量间的相位关系的大小、正负画出其它相量。cossinsin()iiimiIIIjIiItI如：i1=10sin（314t+600）A，i2=10sin（314t-300）A，u=20sin（314t-750）VI1m=10AI2m=10A正弦量用矢量表示后，同频率的正弦量的相加减，就可以转化为矢量的相加减。•如：u=u1+u2或u=u1-u2450Um=20V例题1试写出表示uA=2202sin314tV,的相量，并画出相量图。解分别用有效值相量uB=2202sin(314t–120º)V,uC=2202sin(314t+120º)V,AUBUCU表示uA、uB和uC则VUA2200/220VjUB)2321(220120/220VjUC)2321(220120/220它们的相量图为：(右图)120120AUBUCUii1i2例题2：3196.53061jI)30sin(261ti)60sin(282ti求i=i1+i2解一：928.646082jIA1.2310928.3296.9)928.64()3196.5(21jjjIIIA)1.23sin(210ti解二：用相量图求解：30°23.1°60°1I2II2222126810()IIIA000218(30)(30)23.16IarctgarctgI01023.1()IAA)1.23sin(210ti§2-3.单一参数的交流电路•在考虑电阻、电感或电容元件时，都将它们看成是理想元件。即只考虑其主要因素而忽略其次要因素。•交流电路与直流电路对电阻、电感或电容的作用结果都不同。•电容对直流电路相当于开路；电感对直流电路相当于短路。•而在交流电路中电容有充放电现象存在，有电流通过电感有自感电动势出现而阻碍电流变化。一.纯电阻电路•如图，选择电流和电压的参考方向。根据欧姆定律可得RiRuRRRuiRRRuiR或即电阻端电压与其电流成正比。设sin()2sin()RRmiRiiItIt则sin()sin()RRmiRmuuRiRItUt显然RmRmURI或RRURIui1、电压与电流关系如果用相量表示，将有•比较上面，可知交流电路中的电阻，其电流和电压相位相同。这就是相量形式的欧姆定律。也可写成sin()RRmiiItsin()RRmuuUtRmRmUIRRRURIRmRmiIIRRiII或RmRmuUU或RRuUU且RmRmURI或RiRuR..UI或RRUIR2、功率(1)瞬时功率：在任意瞬时，电压瞬时值u与电流瞬时值i的乘积，称为瞬时功率，用字母p表示。电阻的瞬时功率为tIUiuppmmR2sin)2cos1(2tIUmm)2cos1(tIU瞬时功率是在一个直流分量UI的基础上，另加一个幅值为UI的正弦量。但总有p0。(2)平均功率：在一个周期内，电路消耗电能的平均速率，即瞬时功率的平均值，称为平均功率。TTdttUITpdtTP00)2cos1(11交流电路中电阻元件的平均功率为RURIIU/22例一100电阻接入50Hz、有效值为10V的电源上，问电流是多少？若频率改为5000Hz呢？因电阻与频率无关，所以mAARUI1001.010010二.纯电感电路•电感元件e设一单匝线圈，当通过它的磁通发生变化时，线圈中要产生感应电动势。其大小为dtde根据物理学中的法拉第电磁感应定律，线圈中的感应电动势为dtde1、电压与电流关系对于N匝线圈，其感应电动势为单匝线圈的N倍其中：=N称为磁通链。dtddtdNeiueLiueLL当线圈中有电流i通过时，或与i成正比，即iLNiNiL或L为线圈的电感(或自感)，它是线圈的结构参数。进而：dtdiLeL电感L的单位是亨利(H)iueLiueLL对于电感电路，应用克希荷夫定律可列出方程：0Leu或dtdiLeuL自感电动势的方向符合楞次定律•当设电流为：sin()LLmiiIt则电感端电压为LdiuLdt•在电感元件电路中，在相位上电压比电流超前90(相位差=+90)。[sin()]cos()LmiLLmidItuLILtdtsin(90)sin()LmiLmuILtUtiu2tULm=ωLILm或：UL=ωLIL090ui感抗：XL=ωL=2πfL单位：ΩULm/ILm=UL/IL=ωL=XLiLψi(a)电感元件IU+u－ψu(b)相量图电感电路相量形式的欧姆定律•前已导出.LmLmiII.0(90)LmLmuLmiUUU其中LmLmUIL../90LmLmUILjL由前两式得：LLj和分别称为感抗和复感抗。其值与频率成正比。LmLmLLmUjLIjXILLLUjXI例•一电感交流电路，L=100mH，f=50Hz，(1)已知tisin27A，求电压；(2)已知VU30/127.，求电流，解u.I并画相量图。(1)由题知感抗为XL=L=2×50×0.1=31.4则由相量形式的欧姆定律知：VILjU90/2200/74.3190/1..Vtu)90sin(2220(2)电流为ALjUI120/490/4.3130/127..电流为相量图分别为：Ati)120sin(2490/220.U0/7.I30/127.U120/4.I(1)（2）2、功率•当得到电感元件的电压和电流的变化规律即相互关系后，可知电感元件瞬时功率的变化规律为：)90sin(sinttIUuippmmLtIUttIUmmmm2sin2cossintIU2sin可见，p是以幅值为UI、角频率为2t变化的交变量。当u与i的瞬时值为同号时，p0，电感元件取用功率(为负载)，磁能增加；当u与i的瞬时值为异号时，p0，电感元件发出功率(相当于电源)，电感元件的磁能减少。•电感元件平均功率为：02sin111000TTTtdtUITuidtTpdtTP2LLQUIIX可见，电感元件在电路中没有能量损耗，只与电源间进行能量交换。这种能量交换的规模，用无功功率Q来衡量。电感电路的功率计算即电感元件的平均功率为零。无功功率的单位是乏(Var)。规定无功功率为瞬时功率pL的幅值UI，即为加以区别平均功率亦称为有功功率，单位是：瓦（W）。三.电容电路•当一线性电容元件与正弦电源联接时，选择u及i的参考方向如图所示：iuC根据电磁学理论，电压变化时，电容器极板上的电荷量也要发生变化，在电路中要引起电流dtduCdtdqi如果电容器加正弦电压sin()ccmuuUt则cos()cccmuduiCUCtdtsin(90)cmuUCtsin()cmiIt090iu1、电压与电流关系•可见，当电容器所加电压为正弦量时，其中通过的电流也为正弦量。•在电容元件的电路中，电流比电压上的相位要越前90°(=–90°)。由上面讨论可知cmcmIUC或1cmcCcmcUUXIICui2规定，电压比电流的相位差超前时，相位差为正；反之相位差为负；这样便于说明电路的电感性或电容性。ψu(a)电容元件IUψiiC+u－(b)相量图•写出电压及电流的相量表示式其中CXC1称为电容的容抗。.cmcmuUU.