6.7二阶常系数非齐次线性微分方程

1二阶根据解的结构定理,y*y非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据f(x)的特殊形式,的待定形式代入原方程—待定系数法常系数线性非齐次微分方程:()fx为常数)其通解为比较两端表达式以确定待定系数.Y6.72例1.的通解.解:特征方程为对应齐次方程的通解为Y1C2Cxe3xe设特解为则代入原方程得特解所以原方程通解312xxyCeCe36.7.1为实数,()mPx设特解为*y其中*y*y代入原方程①,得为m次多项式.②xe()mPxxe()Qx为待定多项式,()Qxxe[()Qx()]Qx2[()Qxxe2()Qx()]Qxqqppp特解的形式为*().xmyeQxQ(x)为m次多项式(1)若则取从而得到系数由②式确定，特征方程不是特征方程的根,4(2)若为m次多项式,故特解形式为(3)若20,p()Qx是m次多项式,故特解形式为*y()Qx()mPx2()()pqQx即即②特征方程*yxe()Qx()Qx()Qx为m+1次多项式,为m+2次多项式,是特征方程的单根,是特征方程的重根,5bxe小结xe()mPx*y非齐次特解可设为其中不是特征根是特征单根是特征二重根kxxe()mQx01220,rprq特征方程:齐次通解Y2C且或axxe*y*y()mQx2()mxQxxexexekkk(1)(2)(3)1Caxe()mQxmmax11mmax0...a6*y*y例4.的通解.解:特征方程为2r其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数得a因此特解为*y代入方程得2ax所求通解为223(2).xxxe*y*y是特征方程的单根，1r6xb2[2ax(22)abx2]xbe2[4ax(84)abx224]xabe666510101052ab6x5r60,2,Y1C2C2xe3xey1C2C2xe3xe3,62a2(3x6)x2.xe22xe7例5.的通解.解:特征方程为对应齐次方程的通解为是特征方程的重根，∵∴设特解为代入原方程得比较系数得特解通解为26242Y1C2Cxexxey1C2Cxexxe186.7.2()nPxxe[()mPxcosxsin]x非齐次特解:其中(1)不是特征根,i则特解:*y(2)是特征根,i则特解:*yxe(1)[()cossrxx(2)()sin]srxxxxe(1)[()cossrxx(2)()sin]srxx*ykx(1)[()srx(2)()srx(1)()srx为S次实多项式.(2),()srx其中k01不是特征根,i是特征根,ixecosxsin]x9特别对非齐次方程非齐次特解:其中(1)不是特征根,i则特解:*y(2)是特征根,i则特解:*y为常数)(1)()cossrxx(2)()sinsrxxx(1)(()cossrxx(2)()sin)srxx*ykx(1)(()cossrxx(2)()sin)srxx(1)(),srx为s次实多项式.(2)()srx其中k01不是特征根,i是特征根,i()nPx()mPxcosxsinx10例5.的一个特解解:特征方程210,r1,2ri对应次齐方程的通解Y()sinnPxxypyqy()coslPxx当不是特征方程的根时,i可设特解:*ycosmRxsinmRx故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数得acd以及通解.1cosCx2sinCx3,0,b0,4,于是求得一个特解原方程的通解12cossinyCxCx11例6.的通解.解:特征方程为290,r其根为对应齐次方程的通解为代入方程:为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为Y1cos3Cx2sin3Cx6sin3ax比较系数,得因此特解为*y所求通解为6cos3bxy1cos3Cx2sin3Cx12例7.写出下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:(4)y2yysinx解:4r即特征根为则齐次方程通解:22r10特征方程:21r2()0所以非齐次方程特解设为13例7.解:(2)特征方程有根(2)利用叠加原理,(cosdx写出下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:(4)yx非齐次方程齐次方程通解为xe3sinxysin)kx特解设为14可设特解为*yx[()cosaxbx*y()axb2xke可设特解为(max,)mnl解:()sin]cxdx例8.(填空)设[()cosmRxx特征方程210,r1,2ri不是特征方程的根。不是特征方程的根。是特征方程的根。()sin2cxdx()coslPxx()sinnPxx()sin]mRxxcos2x15例9.xe的通解(其中为实数).解:2440,rr特征根:12rr对应齐次方程通解:1)2时,令代入原方程得A故原方程通解为2)2时,令代入原方程得12B故原方程通解为求微分方程特征方程A2x2xe221(2)y2xey,xeA2xe2xe16(1)xabe(2)xae例10.xyaybyce有特解2(1),xxyexe求微分方程的通解.解:(1)xabxe比较系数得10ab2ac10ab0,a1,b2c,xxyexe求导为,xxxyeexe代入原方程得2,xxxyeexe2xxxeexe()xxxaeaeaxe()xxbebxe已知二阶常微分方程特解变为xcexce故原方程为特征方程:对应齐次方程通解:12xxYCeCexxexe原方程通解为12xxyCeCe即12(1)xxxCeCexe12xxxyCeCexe其中22(1)CC17小结*y非齐次特解形式：其中k不是特征根是特征单根是特征二重根xe()mPx(1)kxxe()mQx012非齐次特解形式:(2)xe*ykx其中k01不是特征根,i是特征根,i(3).上述结论也可推广到高阶方程的情形.xe()nPx[()lPxcosxsin]x()mRx[()mRxcosxsin]x18作业36页习题6-71.(1),(3),2.作业本写上班级姓名4.6.