数学分析第5章

数学分析电子教案重庆邮电大学数理学院高等数学教学部沈世云[e-mail]第五章微分学的基本定理及导数的应用•中值定理•泰勒公式•函数的单调性、凸性与极值•平面曲线的曲率•待定型•方程的近似解第一节中值定理二、罗尔(Rolle)定理三、拉格朗日(Lagrange)中值定理四、柯西(Cauchy)中值定理一、费尔马(Fermat)定理一、费尔马(Fermat)定理内有定义，点的某领域在若),()()(00xOxxfi恒有且),(0xOx)()(0xfxf));()((0xfxf或者0()()iifxx在点可导，0()0.fx则有注1..)(,0)(00的为函数则称若xfxxf驻点定理的几何意义：Fermatxyo水平切线P0x)(xfy注2..))(,()(000轴则该切线平行于点存在切线，在局部极大（小）值，且取在若曲线xxfxxxfy,0x若;0)()(00xxfxxf则有,0x若;0)()(00xxfxxf则有;0)()(lim)()(00000xxfxxfxfxfx;0)()(lim)()(00000xxfxxfxfxfx.0)(0xf便得到再由极限的保号性可导的条件在根据,,)(0xxf证明).()(,),(00xfxfxUx时不妨设有于是，对于),,(00xUxx,0)()(00xfxxf2.罗尔（Rolle）定理则在(a,b)内至少存在一点，使f()=0.设函数f(x)满足条件：1)在闭区间[a,b]上连续.2)在开区间(a,b)内可导.3)f(a)=f(b)证.)1(mM若,],[)(连续在baxf.mM和最小值必有最大值.)(Mxf则.0)(xf由此得),,(ba.0)(f都有.)2(mM若),()(bfaf.取得最值不可能同时在端点),(afM设.)(),(Mfba使内至少存在一点则在),()(fxf则由费尔马定理,在(a,b)内至少存在一点，使f()=0.物理解释:变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.几何解释:ab12xyo)(xfy.,,)(水平的在该点处的切线是点上至少有一则弧等处纵坐标相、在点连续光滑曲线CABBAxfyC注意:罗尔定理的三个条件是充分的，但不是必要的.若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立也可能成立..例如,]1,0[,)(xxxf.0)(,)10(),3]1,0[ff使得不存在点内，在件上不满足罗尔定理的条在注意:罗尔定理的三个条件,若有一个不满足,其结论也可能成立.例如,0,1],0(,sin)(xxxxf.,0)2(),0(2,31],0[即罗尔定理的结论成立有，但存在点））、件上不满足罗尔定理的条在fff(x)满足条件(2),(3),但不满足条件(1),在(0,1)内,21)(xf例如:(i)y=f(x)=121x1,x=1,x[0,1)图3-1-2xy01123.0)(,)10(f使得内不存在点，在1,1||)(xxxfyf(x)在[-1,1]上,满足条件(1),(3),但不满足条件(2),当x时,f(x)=1.x时,f(x)=1.x=0时,f(0)不存在.(ii)0xy111图3-1-3y=|x|.0)(,)11(f使得内不存在点，在(iii)y=f(x)=x,x[1,2],f(x)在[1,2]上满足条件(1),(2),但不满足条件(3),在(1,2)内,f(x)=1.02112xy图3-1-4y=x.0)(,)21(f使得内不存在点，在例1.)1,0(23423内至少有一个实根在证明方程cbacxbxax证,)()(234xcbacxbxaxxf设,]1,0[)(连续在则xf.0)1()0(ff且由Rolle定理知.0)(),1,0(00xfx使,)1,0()(可导在xf即为方程在内的实根.)1,0(0x说明:证明在内有根用零点定理.0)(xf),(ba证明在内有根用罗尔定理.0)(xf),(ba二、拉格朗日(Lagrange)中值定理).()(:bfaf去掉了与罗尔定理相比条件中注意).()()(fabafbf结论亦可写成则在(a,b)内至少存在一点，使f(b)f(a)=f'()(ba)((a,b)).设函数f(x)满足条件：1)在闭区间[a,b]上连续.2)在开区间(a,b)内可导.ab12xxoy)(xfyABCDNM几何解释:.,ABCAB线平行于弦在该点处的切一点上至少有在曲线弧证明分析:).()(bfaf条件中与罗尔定理相差弦AB方程为).()()()(axabafbfafy,)(ABxf减去弦曲线.,两端点的函数值相等所得曲线ba作辅助函数)].()()()([)()(axabafbfafxfxF,)(满足罗尔定理的条件xF.0)(,),(Fba使得内至少存在一点则在0)()()(abafbff即).)(()()(abfafbf故有拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.证明,),()(内可导在在设baxf).10()()()(000xxxfxfxxf则有),,(,00baxxx).10()(0xxxfy也可写成.的精确表达式增量y拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.微分中值定理推论2()(),()().IfxgxIfxgxC如果在区间上恒成立则在区间上有证明12,.xx的任意性，即得结论推论11212,,,xxIxx任取且应用拉氏公式，得到212112()()()()()fxfxfxxxx在与之间21()0()(),ffxfx由条件知，于是有由点，则内有在若0)(),()(xfbaxf).,()(baxconstCCxf，，即导数恒为零的函数必是常数函数.定义121212(),,|()()|||().fxIxxIfxfxLxxfxI如果函数在区间上有定义,且存在常数L,使对成立则称在区间上满足李普希茨条件证明推论3()().fxIfxI如果函数在区间上存在有界导数,则在区间上满足李普希茨条件12,,xxI任取应用拉氏公式，得212121|()()||()()|||fxfxfxxLxx()'()|,,fxIfxLxI由于在上有界，于是存在常数L,有|().fxI在区间上满足李普希茨条件例21cossin22xx证明证,cossin)(22xxxf设xxxxxfcossin2cossin2)(,0,)(Cxf0cos0sin)0(22f又,1.1C即.)),((x)).,((1cossin22xxx例3.)1ln(1,0xxxxx时证明当证),1ln()(xxf设,],0[)(上满足拉氏定理的条件在xxf)0(),0)(()0()(xxffxf,11)(,0)0(xxff由上式得,1)1ln(xxx0又x111,11111x,11xxxx.)1ln(1xxxx即拉格朗日(Lagrange)中值定理主要用来证明不等式例4.设ab0n1.证:令f(x)=xn显然f(x)在[b,a]上满足拉格朗日定理条件,证明:nbn1(ab)anbnnan1(ab)有f(a)f(b)=f()(ab)(ba)即anbn=nn1(ab)又0ba,且n1所以bn1n1an1nbn1(ab)nn1(ab)nan1(ab)即nbn1(ab)anbnnan1(ab)三、柯西(Cauchy)中值定理则在(a,b)内至少存在一点，使Cauchy中值定理设函数f(x)、g(x)满足条件：1)在闭区间[a,b]上连续.2)在开区间(a,b)内可导且g(x)0.)()()()()()(gfbgagbfaf几何解释:)(1gXoY)()(xfYxgX)(agA)(bgBC)(2gD)(xgNM.)),(),((ABfgCAB弦该点处的切线平行于在一点上至少有在曲线弧证作辅助函数)].()([)()()()()()()(agxgagbgafbfafxfx,)(满足罗尔定理的条件x.0)(,),(使得内至少存在一点则在ba,0)()()()()()(gagbgafbff即.)()()()()()(gfagbgafbf.0)(,),(使得内至少存在一点则在ba,)(xxg当,1)(,)()(xgabagbg)()()()()()(gfagbgafbf).()()(fabafbf特别地拉格朗日(Lagrange)中值定理例5)].0()1([2)(),1,0(:,)1,0(,]1,0[)(fffxf使至少存在一点证明内可导在上连续在设函数证分析:结论可变形为2)(01)0()1(fff.)()(2xxxf,)(2xxg设,]1,0[)(),(条件上满足柯西中值定理的在则xgxf有内至少存在一点在,)1,0(2)(01)0()1(fff)].0()1([2)(fff即四、小结Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理xxg)()()(bfaf罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.第二节泰勒公式一、问题的提出二、Pn和Rn的确定三、泰勒(Taylor)定理四、简单的应用1.近似计算可微，则有在若0)(xxfy）（0),()(0xxoxxfy于是.||,)(0充分小）（xxxfy),()(00xfxxfy又一、利用导数作近似计算是用计算方法得到一定精度的计算结果..||,)()()(000充分小）（故xxxfxfxxfyxo0xxx0yxy)(xfy，则有，设00xxxxxx这就是利用导数作近似计算的公式.它表明，当))(()(0000xxxfxfyxx线充分接近时，可以用切与充分小时，有且当||00xx.)0()0()(xffxf.||),)(()()(0000充分小）（xxxxxfxfxf的纵坐标在即曲线近似地代替曲线xxfyxfy)().(的纵坐标的切线在近似等于其在xxfxxf))(,()(00).)(()(000xxxfxf例1.如图，加工圆锥台时计算刀架应取角.s1D2D.22tan2121sDDsDD因一般相当小，故.tan0cos10tantan2，即解：于是从而sDD2tan21sDDsDD21216.2823.57,（弧度）.3.571弧度.（角度）例2.开方的近似计算..2111||1)(xxxxxfy很小，则，若设常用近似公式（充分小）：||x,sinxx,11nxxn.1xex,tanxx,111xx.)1ln(xxxeyxy1oxeyoxy)1ln(xy;)(.10附近