8.3-有理函数的不定积分

§8.3有理函数和可化为有理函数的不定积分一、有理函数二、有理函数的不定积分三、可化为有理函数的不定积分四、积不出来的不定积分称为有理函数。一、有理函数0101)()()()(,)(bxbxbaxaxaxQxPxRxQxPmmnnmnmn的商两个多项式定义：)0,(mnba其中;)(,为假分式称若xRmn.)(,为真分式称若xRmn假分式=多项式+真分式有理数：假分数=整数+真分数，如：.413413有理函数长除法122352223xxxxx如：1233122xxxx多项式真分式有理函数不定积分的关键：真分式的积分。多项式分解定理：.,约多项式幂的乘积多项式的幂与二次不可成一次任一多项式均可以分解在实数范围内skskmxxb)()(11tlttlqxpxqxpx)()(2112101)(bxbxbxQmmm.)1(042tiqpii其中如：1222234xxxx)1()1(22xx真分式分解定理：tslttlkskmnnqxpxqxpxxxbaxaxa)()()()(211210111kkkxAxAxAkx)()(:,)(221项之和则分解的分式含分母含llllqpxxBxAqpxxBxAqpxxBxAlqpxx)()(:,)(222222112项之和则其分解的分式含分母含部分分式例2：.)1()1(22223分解为有理真分式的和将xxx待定系数法，比较同次幂系数。方法一：特殊值法。方法二：.11)1(211)1()1(2222223xxxxxxx;||ln1)1(Caxdxax;1)()(1)2(1Ckaxdxaxkk四种类型最简真分式的不定积分)04()3(22qpdxqpxxnmxduaumpnqpxxdqpxxm22222)()(12）（记44,22pqapxuCauampnqpxxmarctan2)()ln(22)04()()4(22qpdxqpxxnmxk较复杂44)2(222pqpxqpxx)(2dxqpxxnmxk)(2)()(2222duaumpnduaumukk凑微分递推式22au例3、求下列函数的不定积分。.)1(1)1(2dxxx11)1(11)1(122xxxxx分解：.)22(1)2(222dxxxx222222)2212221)221xxxxxxxx（（分解：例3、求下列函数的不定积分。三、可化为有理函数的不定积分dxsinxx,)R(cos1、例5、.cos1sin1dxxx求,12sin2uux.11cos22uux则令,2tanxu方法：.tanxu令dxxxxx,)cossinsinR(cos22，对注：例6、.cossin12222dxxbxa求三、可化为有理函数的不定积分dxdcxbaxxRn),(2、例7、求;221)1(dxxxx.2)1()2(2xxxdx方法：令udcxbaxn三、可化为有理函数的不定积分例8、求.122dxxxxdxcbxaxxR),(32、下列积分属于积不出来的积分：)10(sin1,sin,sin,ln1,2222kxkdxxxdxxdxxdxex四、积不出来的不定积分综合练习：求下列不定积分dxxxxxxdxcos1sin)2(sin22sin)1(dxxxxdxxxx)1(arctan)4(1arcsin)3(222dxexedxxxexxx1)6()1()5(2dxeedxxxxxarctan)8(1)7(23作业习题8-3：1(1)(2)、2(1)(6)