9.1-定积分概念

§9.1定积分概念定积分的来源Archimedes(古希腊)：刘徽(魏晋)：平面曲边图形的面积.穷竭法.割圆术.面积计算的普遍方法：Riemann(德):定积分的严格定义.积分理论Newton(英):Leibniz(德)：微分的逆运算.微元的和.一、定积分中的问题1：面积标准图形的面积：直线曲线y=f(x)xyabo,,bxax直线)(xfyx轴与围成的图形：曲边梯形。一、定积分中的问题1：面积axbx曲边三角形xyy=f(x)oab0)(af曲边梯形曲边三角形Archimedes(古希腊)：.2时曲边三角形的面积xy一、定积分中的问题1：面积.],[,0)(,21sTTtvv内经过的路程在求质点且连续速度设质点作直线运动0vv1T2Tatvv01T2Ttovvto匀速运动匀加速运动)(120TTvs212120)(21)(TTaTTvs中学物理一、定积分中的问题2：变速直线运动的路程)(tvv1T2Tvto?s本质：求曲边梯形的面积。.,0)(,)(求力对物体所做的功且连续力运动到的作用下沿直线从物体在力xFbaxFFF0)(FxF常力做功：).(0abFW一、定积分中的问题3：变力做功oxabFoxab?W本质：求曲边梯形的面积。y=f(x)xyabo一、定积分中的问题：曲边梯形的面积如何求图中曲边梯形的面积？,)(连续设xfabxyoabxyo（四个小矩形）（九个小矩形）用矩形面积近似代替曲边梯形的面积。小矩形越多，总面积越接近曲边梯形面积。y=f(x)abxyo0x1x2x1ixix1nxnx(1)分割：作垂线将曲边梯形.个小曲边梯形分成nbxxxann101个分点用,],[个小区间分成将nbay=f(x)abxyo0x1x2x1ixix1nxnxi(2)近似：,],[1iiixx任取.)(iiixfSi个小曲边梯形面积第1iiixxx曲边梯形的面积y=f(x)abxyo0x1x2x1ixix1nxnxi.)(11iniiniixfSS(3)求和：则无限细分对,],[ba.)(1Sxfiniiy=f(x)abxyo0x1x2x1ixix1nxnxi(4)取极限：问题：1、如何刻画分割越来越细？2、如何刻画?)(1Sxfinii越来越逼近二、定积分的概念,210bxxxxan定义1：个小区间分为将],[nba.)1(],[1nixxiii.},,,{},,,{2110nnxxxT或模。],[的一个由此得到ba分割ixx1ix1x0ax1nxnxb2x定义2：称和式任取,},,,,{21iinTiniixf)(1上的一个在为函数],[)(baxf积分和,也称黎曼和。ixx1ix1x0ax1nxnxb2xi12n定义3：,],[,0,0Tba的任意分割使得对若对就有只要以及任意,,Tii,)(1Jxfinii上在则称],[)(baxf（黎曼）可积,称为实数J的在函数],[)(baxf定积分，记为.)(badxxfJ被积函数.)()(lim10bainiiTdxxfxfJ注1：记:（Leibniz）积分号拉长的字母“S”:)(dxxf被积表达式微分:)(badxxf将微分“加”起来积分上限积分下限积分区间:],[ba:a:b积分变量定积分的例子：1、曲边梯形的面积：.)(badxxfA2、变速直线运动的路程：21.)(TTdttvs3、变力做功：badxxFW.)(注2:.)(,)(可积则连续若xfxfabyx1A2A3A4A5A三、定积分的几何意义曲边梯形面积:A曲边梯形面积的负值54321)(AAAAAdxxfba各部分面积的代数和xy22)(xaxf例1、求定积分aadxxa.22aa例2、求定积分102.dxx2xyxyO1n1nn1n2即使是一个很简单的定积分，用定义来求都很复杂！作业习题9-1：1、2（1）