9.5-微积分学基本定理-定积分计算

§9.5微积分学基本定理定积分计算一、变限积分与原函数的存在性三、泰勒公式的积分型余项二、换元积分法与分部积分法xoybax)(xfy)(x则上可积在,],[)(baxf.],[,],[可积在xafbax为变上限的定积分。称)()()(bxadttfxxa称bxbxadttfx)()()(为变下限的定积分。)(x一、变限积分与原函数的存在性xadttfxbaxf)()(,],[)(则上可积在设定理1：.],[上连续在ba定理2：上处处在则若],[)(,],[)(baxbaCxf.)()(,xfx且可导（原函数存在定理）牛顿-莱布尼兹公式：的一个是函数若)()(,],[)(xfxFbaCxfbaaFbFdxxf).()()(原函数，则推论：设)(xf连续，)(),(xx可导，则：).(')]([)(')]([)()()(xxfxxfdttfdxdxx特别地,);(')]([)()(xxfdttfdxdxa).(')]([)()(xxfdttfdxdbx例1、设xadttxtfxFbaCxf.))(()(],,[)(证明：).()(''xfxF例2、求下列函数的极限.;lim)1(21cos02xdtextx;lim)2(022022xtxtxdtedte.)21ln(sinlim)3(20xdtttxxxxxdttfdtttfxF00)()()(例3、证明且设.0)(,),0[)(xfCxf.),0(上的增函数为思考：.0)()(.0)0()(,0,00,)()(20的连续性在并研究求导数且有连续其中设xxFxFfxfxxxdtttfxFx定理3(积分第二中值定理)设f在[a,b]上可积.(i)若函数g在[a,b]上单调减,且,0)(xg则.d)()(d)()(abaxxfagxxgxf使得存在,],[ba(ii)若函数g在[a,b]上单调增,且,0)(xg则.d)()(d)()(bbaxxfbgxxgxf使得存在,],[ba