Matrix的数学原理

AndroidMatrixMatrix的数学原理平移变换旋转变换缩放变换错切变换对称变换代码验证Matrix的数学原理在Android中，如果你用Matrix进行过图像处理，那么一定知道Matrix这个类。Android中的Matrix是一个3x3的矩阵，其内容如下：Matrix的对图像的处理可分为四类基本变换：Translate平移变换Rotate旋转变换Scale缩放变换Skew错切变换从字面上理解，矩阵中的MSCALE用于处理缩放变换，MSKEW用于处理错切变换，MTRANS用于处理平移变换，MPERSP用于处理透视变换。实际中当然不能完全按照字面上的说法去理解Matrix。同时，在Android的文档中，未见到用Matrix进行透视变换的相关说明，所以本文也不讨论这方面的问题。针对每种变换，Android提供了pre、set和post三种操作方式。其中set用于设置Matrix中的值。pre是先乘，因为矩阵的乘法不满足交换律，因此先乘、后乘必须要严格区分。先乘相当于矩阵运算中的右乘。post是后乘，因为矩阵的乘法不满足交换律，因此先乘、后乘必须要严格区分。后乘相当于矩阵运算中的左乘。除平移变换(Translate)外，旋转变换(Rotate)、缩放变换(Scale)和错切变换(Skew)都可以围绕一个中心点来进行，如果不指定，在默认情况下是围绕(0,0)来进行相应的变换的。下面我们来看看四种变换的具体情形。由于所有的图形都是有点组成，因此我们只需要考察一个点相关变换即可。一、平移变换假定有一个点的坐标是，将其移动到，再假定在x轴和y轴方向移动的大小分别为：如下图所示：不难知道：如果用矩阵来表示的话，就可以写成：二、旋转变换2.1围绕坐标原点旋转：假定有一个点，相对坐标原点顺时针旋转后的情形，同时假定P点离坐标原点的距离为r，如下图：那么，如果用矩阵，就可以表示为：2.2围绕某个点旋转如果是围绕某个点顺时针旋转，那么可以用矩阵表示为：可以化为：很显然，1.是将坐标原点移动到点后，的新坐标。2.是将上一步变换后的，围绕新的坐标原点顺时针旋转。3.经过上一步旋转变换后，再将坐标原点移回到原来的坐标原点。所以，围绕某一点进行旋转变换，可以分成3个步骤，即首先将坐标原点移至该点，然后围绕新的坐标原点进行旋转变换，再然后将坐标原点移回到原先的坐标原点。三、缩放变换理论上而言，一个点是不存在什么缩放变换的，但考虑到所有图像都是由点组成，因此，如果图像在x轴和y轴方向分别放大k1和k2倍的话，那么图像中的所有点的x坐标和y坐标均会分别放大k1和k2倍，即用矩阵表示就是：缩放变换比较好理解，就不多说了。四、错切变换错切变换(skew)在数学上又称为Shearmapping(可译为“剪切变换”)或者Transvection(缩并)，它是一种比较特殊的线性变换。错切变换的效果就是让所有点的x坐标(或者y坐标)保持不变，而对应的y坐标(或者x坐标)则按比例发生平移，且平移的大小和该点到x轴(或y轴)的垂直距离成正比。错切变换，属于等面积变换，即一个形状在错切变换的前后，其面积是相等的。比如下图，各点的y坐标保持不变，但其x坐标则按比例发生了平移。这种情况将水平错切。下图各点的x坐标保持不变，但其y坐标则按比例发生了平移。这种情况叫垂直错切。假定一个点经过错切变换后得到，对于水平错切而言，应该有如下关系：用矩阵表示就是：扩展到3x3的矩阵就是下面这样的形式：同理，对于垂直错切，可以有：在数学上严格的错切变换就是上面这样的。在Android中除了有上面说到的情况外，还可以同时进行水平、垂直错切，那么形式上就是：五、对称变换除了上面讲到的4中基本变换外，事实上，我们还可以利用Matrix，进行对称变换。所谓对称变换，就是经过变化后的图像和原图像是关于某个对称轴是对称的。比如，某点经过对称变换后得到，如果对称轴是x轴，难么，用矩阵表示就是：如果对称轴是y轴，那么，用矩阵表示就是：如果对称轴是y=x，如图：那么，很容易可以解得：用矩阵表示就是：同样的道理，如果对称轴是y=-x，那么用矩阵表示就是：特殊地，如果对称轴是y=kx，如下图：那么，很容易可解得：用矩阵表示就是：当k=0时，即y=0，也就是对称轴为x轴的情况；当k趋于无穷大时，即x=0，也就是对称轴为y轴的情况；当k=1时，即y=x，也就是对称轴为y=x的情况；当k=-1时，即y=-x，也就是对称轴为y=-x的情况。不难验证，这和我们前面说到的4中具体情况是相吻合的。如果对称轴是y=kx+b这样的情况，只需要在上面的基础上增加两次平移变换即可，即先将坐标原点移动到(0,b)，然后做上面的关于y=kx的对称变换，再然后将坐标原点移回到原来的坐标原点即可。用矩阵表示大致是这样的：需要特别注意：在实际编程中，我们知道屏幕的y坐标的正向和数学中y坐标的正向刚好是相反的，所以在数学上y=x和屏幕上的y=-x才是真正的同一个东西，反之亦然。也就是说，如果要使图片在屏幕上看起来像按照数学意义上y=x对称，那么需使用这种转换：要使图片在屏幕上看起来像按照数学意义上y=-x对称，那么需使用这种转换：关于对称轴为y=kx或y=kx+b的情况，同样需要考虑这方面的问题。第二部分代码验证在第一部分中讲到的各种图像变换的验证代码如下，一共列出了10种情况。如果要验证其中的某一种情况，只需将相应的代码反注释即可。试验中用到的图片：其尺寸为162x251。每种变换的结果，请见代码之后的说明。[java]viewplaincopy1.spanstyle=font-size:13px;/spanprename=codeclass=javapackagecom.pat.testtransformmatrix;2.3.importandroid.app.Activity;4.importandroid.content.Context;5.importandroid.graphics.Bitmap;6.importandroid.graphics.BitmapFactory;7.importandroid.graphics.Canvas;8.importandroid.graphics.Matrix;9.importandroid.os.Bundle;10.importandroid.util.Log;11.importandroid.view.MotionEvent;12.importandroid.view.View;13.importandroid.view.Window;14.importandroid.view.WindowManager;15.importandroid.view.View.OnTouchListener;16.importandroid.widget.ImageView;17.18.publicclassTestTransformMatrixActivityextendsActivity19.implements20.OnTouchListener21.{22.privateTransformMatrixViewview;[e-mail](BundlesavedInstanceState)25.{26.super.onCreate(savedInstanceState);27.requestWindowFeature(Window.FEATURE_NO_TITLE);28.this.getWindow().setFlags(WindowManager.LayoutParams.FLAG_FULLSCREEN,WindowManager.LayoutParams.FLAG_FULLSCREEN);29.30.view=newTransformMatrixView(this);31.view.setScaleType(ImageView.ScaleType.MATRIX);32.view.setOnTouchListener(this);33.34.setContentView(view);35.}36.37.classTransformMatrixViewextendsImageView38.{39.privateBitmapbitmap;40.privateMatrixmatrix;41.publicTransformMatrixView(Contextcontext)42.{43.super(context);44.bitmap=BitmapFactory.decodeResource(getResources(),R.drawable.sophie);45.matrix=newMatrix();46.}[e-mail](Canvascanvas)50.{51.//画出原图像52.canvas.drawBitmap(bitmap,0,0,null);53.//画出变换后的图像54.canvas.drawBitmap(bitmap,matrix,null);55.super.onDraw(canvas);56.}[e-mail](Matrixmatrix)60.{61.this.matrix.set(matrix);62.super.setImageMatrix(matrix);63.}64.65.publicBitmapgetImageBitmap()66.{67.returnbitmap;68.}69.}70.71.publicbooleanonTouch(Viewv,MotionEvente)72.{73.if(e.getAction()==MotionEvent.ACTION_UP)74.{75.Matrixmatrix=newMatrix();76.//输出图像的宽度和高度(162x251)77.Log.e(TestTransformMatrixActivity,imagesize:widthxheight=+view.getImageBitmap().getWidth()+x+view.getImageBitmap().getHeight());78.//1.平移79.matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getWidth(),view.getImageBitmap().getHeight());80.//在x方向平移view.getImageBitmap().getWidth()，在y轴方向view.getImageBitmap().getHeight()81.view.setImageMatrix(matrix);82.83.//下面的代码是为了查看matrix中的元素84.float[]matrixValues=newfloat[9];85.matrix.getValues(matrixValues);86.for(inti=0;i3;++i)87.{88.Stringtemp=newString();89.for(intj=0;j3;++j)90.{91.temp+=matrixValues[3*i+j]+\t;92.}93.Log.e(TestTransformMatrixActivity,temp);94.}95.96.97.////2.旋转(围绕图像的中心点)98.//matrix.setRotate(45f,view.getImageBitmap().getWidth()/2f,view.getImageBitmap().getHeight()/2f);99.//100.////做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠101.//matrix.postTranslate(view.getImageBitmap