04弹性力学第四章

《弹性力学与有限元法》2020年1月27日1《弹性力学与有限元法》2020年1月27日2第四章平面问题的极坐标解答§4-1极坐标中的平衡微分方程§4-9圆孔的孔边应力集中§4-4应力分量的坐标变换式§4-3极坐标中的应力函数与相容方程§4-2极坐标中的几何方程及物理方程§4-5轴对称应力和相应的位移§4-6圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞§4-7曲梁的纯弯曲§4-8圆盘在匀速转动中的应力及位移§4-10楔形体在楔顶或楔面受力§4-11半平面体在边界上受法向集中力习题课《弹性力学与有限元法》2020年1月27日3§4-1极坐标中的平衡微分方程在处理弹性力学问题时，选择什么形式的坐标系统，虽不会影响对问题本质的描绘，但却直接关系到解决问题的难易程度。如坐标选得合适，可使问题大为简化。例如对于圆形、楔形、扇形等物体，采用极坐标求解比用直角坐标方便的多。图4－1考虑平面上的一个微分体，沿方向的正应力称为径向正应力，用表示，沿方向的正应力称为切向正应力，用表示，剪应力用表示，各应力分量的正负号的规定和直角坐标中一样。径向及环向的体力分量分别用及表示。如图4-1。PACBrrrrKKrrrrdrrrrrdddrrdrrdrKrKyxoPABC《弹性力学与有限元法》2020年1月27日4考虑图示单元体的平衡，有三个平衡方程：0,0,0MFFr由，可以得出剪应力互等关系：0Mrr0rF由，有：0)(22)())((drrdKdrdrdddrddrdrdddrrdrrrrrrrrr0F由，有：022)())(()(drrdKddrddrdrdddrrdrrdrdrdrrrrrr《弹性力学与有限元法》2020年1月27日5因为很微小，所以取，，并用代替，整理以上两式，得：d22sindd12cosdrr02101KrrrKrrrrrrrrr这就是极坐标的平衡微分方程。两个平衡微分方程中包含三个未知函数、和，所以问题是静不定的。因此必须考虑变形条件和物理关系。rrr上述方程和直角坐标系下的平衡方程有所不同，直角坐标系中，应力分量仅以偏导数的形式出现，在极坐标系中，由于微元体垂直于半径的两面面积不等，而且半径愈小差值愈大，这些反映在方程里带下划线的项中。《弹性力学与有限元法》2020年1月27日6一、几何方程—位移与形变间的微分关系§4-2极坐标中的几何方程及物理方程在极坐标中规定:rrruu---径向正应变---环向正应变---剪应变(径向与环向两线段之间的直角的改变)---径向位移---环向位移用叠加法讨论极坐标中的形变与位移间的微分关系。图4-2drdrruo（1）假定只有径向位移，而无环向位移。如图4-2所示。《弹性力学与有限元法》2020年1月27日7径向线段的正应变为：PArudrudrruuεrrrrr)(环向线段的正应变为：PBrurdrddurεrr)(径向线段的转角为：PA0环向线段的转角为：PBrrrrurrduduuβ1)(可见剪应变为：rrurβαγ1drdrruo《弹性力学与有限元法》2020年1月27日8drPPBBAAdruo（2）假定只有环向位移，而无径向位移。如图4-3所示。图4-3径向线段的正应变为：PA0r环向线段的正应变为：PBurrduduuε1)(径向线段的转角为：PArudrudrruuα)(环向线段的转角为：PBruβ可见剪应变为：ruruβαγr《弹性力学与有限元法》2020年1月27日9如果同时存在径向和环向位移，则由叠加法得：ruruurγurruεruεrrrrr11这就是极坐标中的几何方程。二、物理方程（1）平面应力情况：rrrrrrEμGγμEεμEε)1(21)(1)(1《弹性力学与有限元法》2020年1月27日10（2）平面应变情况：rrrrrEEE)1(2)1(1)1(122将上式中的换为，换为。E21μEμμμ1《弹性力学与有限元法》2020年1月27日11§4-3极坐标中的应力函数与相容方程为了得到极坐标中用应力函数表示的应力和相容方程，利用极坐标和直角坐标的关系：sin,cosarctan,222ryrxxyyxr得到：rrxyrryxryyrrxxrcos,sin,sin,cos22rryyrryrrxxrrxcossinsincos《弹性力学与有限元法》2020年1月27日12在θ=0时，极坐标的各分量和直角坐标各分量相同。将上面各式代入应力分量的表达式（常体力）：yxxyxyyx22222222222222222222222222222coscossin2coscossin2sinsincossin2sincossin2cosrrrrrrryrrrrrrrx（a）（b）222222222222cossinsincoscossinsincoscossinrrrrrrryx（c）《弹性力学与有限元法》2020年1月27日13得到：)1()()()()(11)()(0202202202220220rryxrxrrryyxryxr可以证明，当体力为零时，这些应力分量确能满足平衡微分方程。由（a）+（b），得：22222222211rrrryx于是由直角坐标的相容方程：0)(22222yx得到极坐标中的相容方程：0)11(222222rrrr《弹性力学与有限元法》2020年1月27日14用极坐标求解平面问题时（体力不计），就只须从相容方程求解应力函数，然后求出应力分量，再考察应力分量是否满足边界条件，多连体还要满足位移单值条件。),(r《弹性力学与有限元法》2020年1月27日15§4-4应力分量的坐标变换式在一定的应力状态下，如果已知极坐标中的应力分量，就可以利用简单的关系式求得直角坐标中的应力分量。反之，如果已知直角坐标中的应力分量，也可以利用简单的关系式求得极坐标中的应力分量。设已知极坐标中的应力分量、、。试求直角坐标中的应力分量、、。rrxyxyrryyxrrrrxyxcaboyxAB图4-4如图4-4，在弹性体中取微小三角板，各边上的应力如图所示。三角板的厚度取为一个单位。令边的长度为，则边及边的长度分别为及。Abcdsabacsindscosds《弹性力学与有限元法》2020年1月27日16根据三角板的平衡条件，可得平衡方程：A0xF0cossinsincossincos22dsdsdsdsdsrrrx用代替，得：rrcossin2sincos22rrx同理，由平衡条件，可得：0yF)sin(coscossin)(22rrxy另取微小三角板，如图4-4，根据平衡条件，得到：0yFBcossin2cossin22rry综合以上结果，得出应力分量由极坐标向直角坐标的变换式为：rryyxrrrrxyxcaboyxAB《弹性力学与有限元法》2020年1月27日17)sin(coscossin)(cossin2cossincossin2sincos222222rrxyrryrrx利用简单的三角公式，上式可改写为：2cos2sin22sin2cos222sin2cos22rrxyrrryrrrxrryyxrrrrxyxcaboyxAB同样道理，已知直角坐标下的应力分量，也可求出极坐标下的应力分量。《弹性力学与有限元法》2020年1月27日18§4-5轴对称应力和相应的位移如果应力分量仅是半径的函数，如受内外压的圆环，称为轴对称问题。采用逆解法，假定应力函数仅是径向坐标的函数:r)(r相容方程简化为:0dd1dd222rrr这是一个四阶常微分方程，它的通解为:这时，应力的表达式为:DCrrBrrA22lnln《弹性力学与有限元法》2020年1月27日1902)ln23(2)ln21(22rrrCrBrACrBrA正应力分量仅是r的函数，与θ无关，并且剪应力为零，应力分量对称于通过z轴的任一平面，称为轴对称应力。将上述应力的表达式代入应力应变关系式中，可以得到应变的表达式,再代入位移与应变积分后的几何方程,得到轴对称应力状态下的位移分量:cossin4sincos])1(2)31()1(ln)1(2)1([1KIHrEBruKICrBrrBrrAEur《弹性力学与有限元法》2020年1月27日20对于平面应变问题，须将上面公式换为，换为。E21E1《弹性力学与有限元法》2020年1月27日21§4-6圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞如图4-5，圆环的内半径为a，外半径为b，受内压力qa，外压力qb。为轴对称问题。根据上节有解为:02)ln23(2)ln21(22rrrCrBrACrBrA图4-5边界条件为:bbrraarrbrrarrqq)(,)(0)(,0)(一、圆环或圆筒受均布压力《弹性力学与有限元法》2020年1月27日22在这里只有两个方程，而有三个待定常数，需要从多连体的位移单值条件补充一个方程。在环向位移表达式：cossin4KIHrEBru中，第一项是多值的，在同一r处，θ=θ1和θ=θ1+2π时，环向位移成为多值，这是不可能的，因此，从位移单值条件必须有B=0。这样从上面两个方程中可解出A和C，代入应力分量表达式，得到拉密解答：baqCbAqCaA2222于是:baqCbBbAqCaBaA2)ln1(2)ln1(22由边界条件得到:《弹性力学与有限元法》2020年1月27日23babarqbaraqabrbqbaraqabrb222222222222222211111111下面分别讨论内压力和外压力单独作用的情