第3章 计算机控制系统理论基础

1第3章计算机控制系统理论基础3.1计算机控制系统的信号特征和控制方法特征3.2信号的采样与保持3.3Z变换理论3.4计算机控制系统的数学描述3.5计算机控制系统的分析总学时：8学时23.1计算机控制系统的信号特征和控制方法特征一、信号特征模拟控制系统中各处的信号均为连续模拟信号，而计算机控制系统中除了有模拟信号之外，还有离散模拟、离散数字等多种信号形式。A/D控制器被控对象传感器执行器D/A∑y(t)y*(t)y(nT)e(nT)u(nT)u*(t)r(nT)y(t)y(t)y*(t)y(nT)u(nT)u*(t)ttttt0TTTT00002T2T2T2T101010111011101010111011采样器计算机+-模拟信号离散模拟信号数字信号数字信号量化模拟信号图3.1.1计算机控制系统的信号流程3信号的形式可按在时间和幅值上的取值进行分类：1、按时间上的取值分类：（1）连续信号：在时间轴上的取值是连续的信号，即在某一时间间隔内，对于所有时间值都有确定的信号。（2）离散信号：在时间轴上的取值是离散的信号，即只在某些断续的时间值上存在信号，其他时间值上信号无定义。2、按幅值上的取值分类：（1）模拟信号：幅值上连续变化的信号。（2）离散信号：幅值上只取离散值的信号。（3）数字信号：幅值用一定位数的二进制编码的形式表示的信号。将时间和幅值上的各种信号组合起来，可以得到不同类型的信号。4二、控制方法特征计算机控制系统除了包含连续信号外，还包含数字信号，因而计算机控制系统与模拟控制系统在本质上有许多不同，需采用专门的理论来分析和设计。常用的设计方法有两种：（1）模拟化设计方法（模拟调节规律离散化设计法）（2）离散化直接设计法返回本章目录5一、采样系统1、采样采样指的是：将连续模拟信号转变成离散脉冲序列的过程。2、采样器采样器指的是：把连续信号变换成脉冲序列的装置，又称采样开关。3、采样系统如果系统中有一处或多处采样开关，则该系统为采样系统。图3.2.1采样控制系统3.2信号的采样与保持计算机控制系统则属于采样控制系统。图3.2.2计算机控制系统被控对象保持器脉冲控制器S+-()rt()et*()et()ctS为采样开关被控对象D/A转换器数字计算机T+-量测及变换()rt()et*()et()ct()ut*()utA/D转换器6二、信号的采样1、实际采样过程采样过程可以用一个周期性闭合的采样开关S来表示，如图3.2.3所示。假设采样开关每隔T秒闭合一次，T称为采样周期，闭合的持续时间为τ。采样器的输入为连续信号e(t)，输出e*(t)为宽度等于的调幅脉冲序列。图3.2.3实际采样过程τTStt00(c)矩形脉冲信号(a)采样开关(b)连续模拟信号τT2T()et*()et()et*()etTt0(d)理想脉冲信号T2T*()etT72、理想采样过程采样开关的闭合时间τ非常小，一般远小于采样周期T和系统连续部分的最大时间常数，因此在分析时，可以认为τ=0。此时，系统中的采样器就可以用一个理想采样器来代替。tt00c)b)t0a)T2T4T调制器d)采样器()et*()et()Tt()et*()et()Tt图3.2.4理想采样过程3、离散模拟信号离散模拟信号指的是：采样信号e*(t)是在时间上是离散，在幅值上连续变化的信号。离散模拟信号不能直接进入计算机，必须经量化后成为数字信号才能被计算机接受。84、量化所谓量化，就是采用一组数码（如二进制码）来逼近离散模拟信号的幅值，将其转换成数字信号。量化过程：将采样信号转换成数字信号的过程。执行量化动作的装置：A/D转换器。0*()et12356478a)0()ek12356478b)'1A'2A'3A'4A'5A'6A'7A'8A'9Aq1A2A3A4A5A6A7A8A9A1t8tt7t5t4t2t3t9t6tq1t8tt7t5t4t2t3t9t6t图3.2.5量化过程9三、采样定理采样定理【香农(Shannon)采样定理】：若连续信号是有限带宽的，且最高频率分量为ωmax，则当采样频率ωs≥2ωmax时，采样信号可以不失真地表征原来的连续信号，或者说可以从采样信号不失真地恢复原来的连续信号。这个频率2ωmax一般称为奈奎斯特率（Nyquistrate），而ωmax一般称为奈奎斯特频率。理论上：进行采样，则采样信号就能无失真地恢复原信号。在实际应用中：只有采样频率足够高，即采样时刻很密集的时候，采集的信号才接近原来的连续模拟信号。采样定理，给出了采样信号唯一不失真地恢复原信号的条件（即最低采样频率）。max2ffsmax)10~5(ffs10四、采样保持器采样时原则上不需要保持操作，但加入保持器可以提高采样的精度。在A/D转换期间，如果输入信号变化较大，就会引起误差。所以，一般情况下，采样信号都不直接送至A/D转换器进行转换。要求输入到A/D转换器的模拟量在整个转换过程中保持不变，但在转换之后，又要求A/D转换器的输出信号能够跟随模拟量变化。能够完成这个任务的器件称为采样保持器（Sample/Hold，简写为S/H）。111、孔径时间和孔径误差（即转换时间和最大转换误差）（1）孔径时间：指的是在模拟量输入通道中，A/D转换器将模拟信号转换成数字量信号总需要一定的时间，完成A/D转换所需的时间。（2）孔径误差：指的是对于随时变化的模拟信号来说，孔径时间决定了每一个采样时刻的最大转换误差。图3.2.6由孔径时间引起的误差则其可能的最大误差:ftUum2sinftfUdtdum2cos2设:fUtum2在横坐标交点上：12一个10位的A/D转换器，量化精度为0.1%，孔径时间为10μs。如果要求转换误差在转换精度内，则允许转换的正弦波模拟信号的最大频率为：从误差的百分数σ的公式可得知，对于一定的转换时间tA/D，误差的百分数和信号频率成正比。为了确保A/D转换的精度，不得不限制信号的频率范围。Hz16100101020.110026-/DAtf（3）孔径误差消除：采用带有保持电路的采样器（即采样保持器）。这样做可提高模拟量输入信号的频率范围，以适应某些随时间变化较快的信号的要求，消除孔径误差。误差百分数为：10021002100//DADAmtfftUu取Δt=tA/D,则横坐标交点处转换的不确定电压误差为：A/DmftUu213（2）基本组成电路采样保持器的基本组成电路一般是由输入输出缓冲器、采样开关、保持电容组成。其工作原理为：采样：K闭合，VIN通过输入缓冲器对Ch快速充电，VOUT跟随VIN保持：K断开，VOUT保持VC采样保持器一旦进入保持期，便立即启动A/D转换器，保证A/D转换期间输入恒定。（1）工作方式采样保持器的两种工作方式：采样和保持。在采样方式中，采样保持器的输出跟随模拟量输入电压变化。在保持状态时，采样保持器的输出将保持命令发出时刻的模拟量输入值，直到保持命令撤销为止（即再次接到采样命令时）。2、采样保持器的原理图3.2.7采样保持器的组成14（1）保持采样信号不变，以便完成A/D转换；（2）提高模拟量输入信号的频率范围，适应某些随时间变化较快的信号的要求，消除转换误差；（3）同时采样几个模拟量，以便进行数据处理与测量；（4）减少D/A输出器的输出毛刺，消除输出电压的峰值及缩短稳定输出值的建立时间。3、采样保持器的主要作用常用的集成采样保持器有LF198/298/398、AD582/585/346/389等。4、常用的集成采样保持器15五、采样过程的数学描述2、调制后的采样信号可表示为：T0()()TnttnT*TTT00()()()()()()()nnetettettnTettnT1、理想脉冲序列可表示为：也表示为：*T0()()()netenTtnT3、量化单位定义为：maxmin21neeqemax和emin分别为模拟信号的最大值和最小值；n为二进制数码的字长。4、A/D转换器的输出信号：*()()int[0.5]etekq量化过程实际上是一个取整的过程，有“向上取整、向下取整”和“四舍五入取整”，大部分A/D转换器采用的是“四舍五入取整”。16六、信号保持连续信号经过采样器后转换成离散信号，经脉冲控制器处理后，其输出仍然是离散信号，而采样控制系统的被控对象一般只能接收连续信号，因此需要保持器将离散信号转换成连续信号。工程上应用最广且为最简单的保持器就是零阶保持器。零阶保持器：是一种采用恒值外推规律的保持器，在一个采样周期内将信号保持为常数，形成阶梯的连续模拟信号。主要功能是完成信号恢复。其传递函数为：图3.2.8零阶保持器的输入和输出信号0t0T2T3T零阶保持器()hut()hut*()ut*()uttT2T3T1()TseHss返回本章目录173.3Z变换理论一、Z变换的导出（1）序列的傅立叶变换定义为：式中，ejω是ω的复函数，变量ω是实数；ejω也可看成是复数变量jω的函数，此时的ejω就是复变函数。（2）序列的傅立叶变换存在的充分条件为：1、由序列的傅立叶变换导出Z变换nnjnnjjenfenfeFnnf由此可见，绝对可和的条件限制了某些序列的傅立叶变换的存在。为使更多的函数存在傅立叶变换，则引入一个衰减因子e-σn，让其与f(n)相乘，于是绝对可和的条件就很容易满足。则有：jnnjnjnneFenfeenfDTFT令z=eσ+jω,则由上式可得到序列的Z变换式为：nnznfzF双边Z变换当0≤n≤∞时，0nnznfzF单边Z变换18（2）连续函数f(t)的拉氏变换为：-()[()]()stFsLftftedt（1）连续信号f(t)经采样开关后得到的采样信号f*(t)为：*--()()()=()()=()()TnnftfttfttnTfnTtnT2、由采样信号的拉氏变换导出Z变换A/D数字滤波器D/Af(t)f*(t)f(n)g(n)g(t)p(t)S19其中：s=σ+jω，引入复变量z，令（3）采样信号f*(t)的拉氏变换为：*------()*()()()()()()()()nstnstnnTsnFsLftLfnTtnTfnTtnTedtfnTtnTedtfnTeTsze则：---*()()()()()TsnnnnFsfnTefnTzFz0)()(nnznfzF当0≤n≤∞时，得单边Z变换：单边Z变换（4）则采样信号f*(t)的Z变换定义为：（5）从广义上讲，T=1，则()()nnFzfnz双边Z变换-*()[()]()[()]nnFzZftffZnTtz203、从离散时间序列直接导出Z变换设f(n)为离散序列，f(n)={f(0)，f(1)，…，f(n)，…}，则f(n)的单边Z变换定义为：0210)(210)(nnznfzfzfzfnxZzF双边Z变换定义为：nnznfnfZzF)()(f二、Z平面与S平面的映射关系对于连续系统,在S平面上，当复变量s的实部为0时(s=jω)，即在虚轴jω上，拉氏变换就是连续时间傅立叶变换。对于离散系统,在Z平面上，当复变量z的模为1时，即在半径为1的单位圆上，Z变换就是离散时间傅立叶变换。S平面Z平面0σ0σ0σ:为常数1zr1zr1zr0:为常数r左半平面虚轴jω右半平面左向右移单位圆内单位圆上单位圆外半径扩大22三、Z变换的定义、收敛域及典型序列