北大材料力学--第六章 弯曲变形

2020/1/26材料力学第六章弯曲变形2020/1/26材料力学本章主要内容弯曲变形的概念梁的挠曲线近似微分方程积分法求梁的变形（不讲）叠加法求梁的变形梁的刚度校核静不定梁（不讲）2020/1/26材料力学6-1弯曲变形的概念工程中的弯曲变形现象2020/1/26材料力学2020/1/26材料力学N2020/1/26材料力学6-2梁的绕曲线近似微分方程1、挠度与转角梁轴线上的一点在垂直于梁变形前轴线方向的线位移称为该点的挠度，用v表示。比如，C截面的挠度为vC梁任一横截面绕其中性轴转动的角度称为该截面的转角。比如，C截面的转角为θCCvdxdvtg,dxdvtg挠度对坐标的一阶导等于转角2020/1/26材料力学2、梁的挠曲线微分方程假设梁的挠曲线微分方程为xfvEIM1纯弯曲第五章推导弯曲正应力公式时已知不计剪力对变形的影响，上式可以推广到非纯弯曲的情况EI)x(M)x(1非纯弯曲2020/1/26材料力学221dxvddxd)x(dxds,d)x(ds且EI)x(M)x(1EI)x(Mdxvdv22上式称为挠曲线近似微分方程。根据弯矩正负号的规定，等式两边符号一致。2020/1/26材料力学6-3积分法求梁的变形1、积分法的步骤DCxdxdx)x(MEIvDdxCdx)x(MEIvCdx)x(MEIvEI)x(MvEI或积分常数C和D的值可通过梁支承处已知的变形条件来确定，这个条件称为边界条件。2020/1/26材料力学2、举例以A为原点，取直角坐标系，x轴向右，y轴向上。（1）求支座反力列弯矩方程由平衡方程得：PlMPRAA,列弯矩方程为：xRMxMAA)()(aPxPl（2）列挠曲线近似微分方程)(bPxPlyEI2020/1/26材料力学（3）积分)(22cCxPPlxyEI)(6232dDCxxPxPlEIy)(bPxPlyEI（4）代入边界条件，确定积分常数在x=0处：00AAAyy将边界条件代入(c)、(d)得：0,0DC2020/1/26材料力学将常数C和D代入(c)、(d)得：)2(2212xlEIPxxPPlxEIy)3(6621232xlEIPxxPxPlEIy（6）求最大转角和最大挠度EIPlEIPlB2,22max2即EIPlyEIPlyB3,33max3即（5）确定转角方程和挠度方程CxPPlxyEI22DCxxPxPlEIy3262说明：转角为负，说明横截面绕中性轴顺时针转动；挠度为负，说明B点位移向下。2020/1/26材料力学例6-2一简支梁如图6-9所示,在全梁上受集度为q的均布载荷作用.试求此梁的转角方程和挠度方程,并确定最大转角|θ|max和最大挠度|y|max由对称关系得梁的两个支座反力为2qlRRBA以A点为原点，取坐标如图，列出梁的弯矩方程为：)(22)(2axqxqlxM（2）列挠曲线近似微分方程并进行积分(1)求支座反力，列弯矩方程bxqxqlvEI2222020/1/26材料力学)d(DCxxqxqlEIv)c(CxqxqlvEI4332241264bxqxqlvEI222简支梁的边界条件是：在两支座处的挠度等于零在x=0处，yA=0；在x=l处，yB=0（3）确定积分常数2020/1/26材料力学2403qlC,D)d(DCxxqxqlEIv)c(CxqxqlvEI4332241264边界条件代入（d），解得将积分常数C，D代入式（c）和（d）得（4）确定转角方程和挠度方程2020/1/26材料力学)(2242424121)(462424641323343323332'fxlxlEIqxxqlxqxqlEIyexlxlEIqqlxqxqlEIy由对称性可知，最大挠度在梁的中点处，将x=l/2代入（f），得：（5）求最大转角和最大挠度EIqlyEIqllllEIlqyC38453845822424max4333故2020/1/26材料力学又由图6-9可见，在两支座处横截面的转角相等，均为最大。由式（e）EIqlEIqllxEIqlxBA2424,24,03max33故处在处在2020/1/26材料力学3、分段积分问题当梁上的外力将梁分为数段时，由于各段梁的弯矩方程不同，因而梁的挠曲线近似微分方程需分段列出。相应地各段梁的转角方程和挠曲线方程也随之而异。2020/1/26材料力学两个边界条件：CCyy21连续条件：CC21AC段：)(11xMyEI积分常数：C、DCB段：)(22xMyEI积分常数：C、D0,0,021BAyylxyyx2020/1/26材料力学6-4叠加法求梁的变形当梁上同时作用几个载荷时，梁的总变形为各个载荷单独作用下梁的变形的代数和。叠加原理、叠加法前提是小变形、线弹性2020/1/26材料力学EIqlEIqlyEIPlEIplyBqBqBPBP68233423EIqlEIPlyyyBqBPB8343EIqlEIplBqBPB6232由叠加法得：直接查表2020/1/26材料力学6-5梁的刚度校核maxmaxyy弯曲构件的刚度条件:rad:,单位许用转角许用挠度y2020/1/26材料力学将吊车梁简化为如图例6-12b所示的简支梁。计算梁挠度的有关数据为：P=50+5=55kN（1）计算变形由型钢表查得4cm32240)kgf/m4.80(N/cm04.8Iq2020/1/26材料力学因P和q而引起的最大挠度均位于梁的中点C，由表6-1查得：cm116.032240102038492004.853845cm38.13224010204892010005548644633EIqlyEIPlyCqCP由叠加法，得梁的最大挠度为：cm5.1116.038.1maxcqcpyyy26N/cm1020GPa200E材料的弹性模量2020/1/26材料力学（2）校核刚度cm84.1500920500ly将梁的最大挠度与其比较知：yycm84.1cm5.1max故刚度符合要求。吊车梁的许用挠度为：2020/1/26材料力学2020/1/26材料力学将主轴简化为如图例6-13b所示的外伸梁，主轴横截面的惯性矩为44444cm188)48(64)(64dDI材料的弹性模量：26N/cm1021GPa210E（1）计算变形由表6-1查出，因P1在C处引起的挠度和在B引起的转角（图c）为：cm106.40)2040(18810213202000)(3462211alEIaPyCPrad1054.1318810213402020035611EIalPBP2020/1/26材料力学由表6-1查得，因P2在C处引起的挠度和在B处引起的转角（d）为：cm1006.5201053.2rad1053.2188102116401000164556222222ayEIlPBPCPBPrad1001.111053.21054.13:Bcm105.351006.5106.40:5554442121BPBPBCPCPCyyyC处的总转角为处的总挠度为则2020/1/26材料力学主轴的许用挠度和许用转角为：rad10001.0cm1040400001.00001.034lyrad10rad1001.11cm1040cm105.353-5-44Bcyy故主轴满足刚度条件（2）校核刚度2020/1/26材料力学6-5静不定梁未知反力的数目多于平衡方程的数目，仅由静力平衡方程不能求解的梁，称为静不定梁1静不定梁的概念2020/1/26材料力学在静不定梁中，超过维持平衡所必需的约束，称为多余约束。与其相应的反力称为多余反力。撤除静不定梁上的多余约束后变成的静定梁称为原静不定梁的静定基。2求解静不定梁的一般方法2020/1/26材料力学EIlRy,EIqlyBBRBq3834例:已知q、l,求A、B支座反力。解除B处约束，代之以约束反力BR存在变形协调条件0BRBqByyy查表03834EIlREIqlBqlRB832020/1/26材料力学2281,85,0,02,00,00,0,qlMqlYXRqllRMZRqlYYXXcAAABBABAA得之值代入把梁的平衡方程为由图2020/1/26材料力学吊车梁的计算简图如图6-20b所示，有四个约束反力，只能列出3个平衡方程，所以是一次静不定梁，需要一个补充方程。选取C点的约束为多余约束，RC为多余支座反力，则相应的静定基为一简支梁，其上受载荷P和多余反力RC的作用。（1）取静定基，列变形条件2020/1/26材料力学0CRCPCyyy变形协调条件（2）计算变形EIlRyEIPlllEIlPyCCRCP48,768114434843322将yCP和yCR代入变形条件，得补充方程（3）建立补充方程，解出多余反力0487681133EIlREIPlCPRC16112020/1/26材料力学（4）由平衡方程，解出其它支反力PYPRRRPRYYlRlPlRMABCBCACBA323,3213,0,00243,0,得值代入由取整体为研究对象作梁的弯矩图如图d所示，最大弯矩在D处，其值为（5）校核强度mN1016138100010012813128135maxPlM2020/1/26材料力学故满足强度条件则查表得MPa14074.6MPaPa1060741016131010901m101090cm1090656363.WMWmaxmax2020/1/26材料力学若C处无中间支座，则为一简支梁，梁在C处横截面上的弯矩最大，为MPa140183MPaPa105.1831010901020mN10204810001004664maxmax4maxWMPlM则这就不满足强度条件了。