北大材料力学课件ch9应力状态

2020/1/27材料力学材料力学第九章应力与应变分析AnalysisofStress&Strain2020/1/27材料力学导言Introductionlaak前面我们介绍了在拉(压)、剪切、扭转、弯曲四种基本变形下的强度计算和刚度计算,以及其相应的应力、变形计算公式。对图示梁上C－截面上的k点(翼缘与腹板交点下侧),既有M(=Pa)引起的s又有Q(=P)引起的t,其强度条件应是什么形式?组合变形(拉弯、扭弯、…)的截面如何确定最危险点及建立相应的强度条件？为解决这些问题,需要研究构件上一点的应力随截面方位的变化而改变的规律。即一点的应力状态。2020/1/27材料力学我们可以用三对相互垂直的平面,绕此点(M)取出一个微小的正六面体(如图,通常叫:微单元体Element)。用此微元体三个相互垂直的平面上的应力来表征此点(M)的应力状态。并可将其用一个二阶张量(Tensor)来描述。§9-1应力状态的概念I.StressstateatapointMzzyzxyzyyxxzxyxMstttstttss111111111111111zyzxzzyyxyzxyxxMstttstttss因为两者表示同一点M的应力状态,其各分量间必然有一定的相互转换规律。这些规律的数学形式是什么？弹性理论已经证明,物体内任一点的应力存在三个主平面(Principalplanes,其上τ≡0),其上的应力(б1≥б2≥б3)叫该点的主应力(Principalstresses)。且这三个主平面相互垂直,围成一个叫主单元体(ElementofPrincipalStresses)的微元体。在§1-7我们讲了某点的应力随所选截面方向改变而改变。过一点各方向截面上应力矢量的集合称为该点的应力状态。但怎样描述一点的应力情况——一点的应力状态?当M点的微元体坐标Oxyz改变为Ox1y1z1时,有:2020/1/27材料力学§9-1应力状态的概念II.PrincipalStressandClassificationofStressesState根据一点的主应力大小,我们通常将一点的应力状态分为三类:1.单向应力状态UniaxialStressStateб1≠0,б2=б3=0(拉)orб1=б2=0,б3≠0(压)如轴向拉压杆上任一点。梁的上下边沿各点2.双向应力状态BiaxialStressState(or平面应力状态PlaneStressState):б1,б2,б3中有,且只有一个为0。如前面梁上AC段内上下边沿以外的各点。3.三向应力状态TriaxialStressState(or空间应力状态SpacialStressState):б1б2б3均不为0。如:火车车轮与钢轨的接触应力。其中1又叫简单应力状态SimpleStressState2,3又叫复杂应力状态ComplexStressState2020/1/27材料力学§9-2平面应力状态分析(I基本公式)StressAnalysisofPlaneStressState如右图,我们由微三棱柱bef来求截面法线n与x轴夹a角的任意斜截面上的应力sa,ta与sx,sy,tx(=-ty),a的关系(其中a以由x轴正向到斜截面外法线为逆时针转为正,反之为负。sa以受拉为正,反之为负。ta(与tx,ty一样)以绕微元体内任一点为顺时针转为正,反之为负。设ef面的面积为dA;则:eb面—dAcosafb面—dAsina在杆件中,我们经常遇到的一点之应力状态为单向应力状态或平面应力状态。一般的空间应力状态在杆件中很少出现,通常在弹性力学中讨论。我们现在来研究平面应力状态下与零主应力平面垂直的任意斜截面上的应力。0nF由得:2020/1/27材料力学§9-2平面应力状态分析(I基本公式)StressAnalysisofPlaneStressState0sin)sin(cos)sin|(|cos)cos(sin)cos(aasaataasaatsadAdAdAdAdAyyxx由得:0tF0cos)sin(sin)sin|(|sin)cos(cos)cos(aasaataasaattadAdAdAdAdAyyxxatasstatasssssaa2cos2sin22sin2cos22xyxxyxyx由剪应力互等定理知(|ty|=|tx|),注意到图中tx方向为正,故|ty|=tx,aaaaaaa2sincossin222cos1sin22cos1cos22利用化简上两式,得:aa2'如以代入上两式,易得与a斜面垂直的另一斜面上的正应力和剪应力。且有:ayxttssssaaa222020/1/27材料力学§9-2平面应力状态分析(II应力圆)StressAnalysisofPlaneStressState(StressCircle)下面介绍应力圆的作法:atasstatasssssaa2cos2sin22sin2cos22xyxxyxyx222222xyxyxtsstsssaa2yxss222xyxrtss由基本公式易得:将此两式分别平方,然后对应相加,可得:此式表示一圆的方程,如图所示。此圆叫相应单元体的应力圆(or摩尔圆Mohr’sCircle)。在Ost坐标系中,其圆心在s轴上。圆心与坐标原点O的距离为:其半径为:2020/1/27材料力学§9-2平面应力状态分析(II应力圆)StressAnalysisofPlaneStressState(StressCircle)对图a所示平面应力状态微元体(已知:sx,sy,tx时),作应力圆如下:tOs***MPasxsyCD1D2sIsIIA1A2txty2020/1/27材料力学§9-2平面应力状态分析(II应力园)StressAnalysisofPlaneStressState(StressCircle)作好应力圆后,可用极点法在图上求解出此微元体上与x轴夹角为a的任意斜截面上的sa,ta如下:tOs***MPasxsyCD1D2txtyIfx//s作D1P//dc,P为与D1P应力圆的交点。叫极点。P(极点pole)E(sa,ta)a2a应力圆上E点的坐标,即为sa,ta2020/1/27材料力学§9-2平面应力状态分析(II应力园)StressAnalysisofPlaneStressState(StressCircle)下面证明前述图解法的正确性:如图,应有:asatassssaaaaaa2sin2cos222sin2sin2cos2cos)22cos(000xyxyxCECEOCCEOCCFOCOFatassataaaaaa2sin22cos2sin2cos2cos2sin)22sin(000yxxCECECEEF2020/1/27材料力学§9-2平面应力状态分析(II应力园)StressAnalysisofPlaneStressState(StressCircle)从以上作图及证明可以看出,应力圆上的点与单元体上的面之间存在一一对应关系:单元体某一面上的应力,必对应于应力圆上其一点的坐标;单元体上任意A、B两个面的外法线之间的夹角若为b,则在应力圆上代表该两个面上应力的两点之间的圆弧段所对的圆心角必为2b,且两者的转向一致(如图)。实质上,这种对应关系是应力圆的参数表达式(9－l)和(9－2)以两倍方位角为参变量的必然结果。根据这种对应关系,只要由单元体的x平面和y平面上已知的应力sx、tx和sy、ty(=-tx)作出应为圆,就可很容易地从应力圆确定任一a截面上的应力sa、ta。应力圆直观地反映了一点处应力状态的特征,在实际应用中,并不一定把应力圆看作为纯粹的图解法,可以利用应力圆来理解有关一点处应力状态的一些特征,或从图上的几何关系来分析一点处的应力状态。2020/1/27材料力学§9-2平面应力状态分析(III主应力与主平面PrincipalStressandPrincipalPlane)㈠图解法(GraphicalMethod)因为主平面上t=0,故应力圆与s轴的两个交点A1,A2即为相应单元体上的主应力;对应方向即主方向。tOs***MPasxsyCD1D2sIsIIA1A2txtyP(极点pole)sIsII由应力圆易得:①主应力是单元体上之最大和最小正应力;②两主平面互相垂直。2020/1/27材料力学(例题9-1,例题9-2:自学)§9-2平面应力状态分析(III主应力与主平面PrincipalStressandPrincipalPlane)sIsII02cos2sin2oxoyxOatasstayxxtgssta2210224)(212xyxyxItssssssⅡ321sss作业:9-2,9-9(c),9-10(g)㈠解析法(AnalyticMethod)因为主平面上t=0,若已知微元体在x轴和y轴上的应力sx、tx和sy、ty(=-tx),则x轴和主方向的夹角ao应满足:与用转轴公式推导惯性主轴和主矩类似,易得:结合z轴为主应力为零的一个已知主方向,且三个相互垂直的主应力必须满足可进一步确定s1,s2,s3的数值和方向。2020/1/27材料力学§9-3梁的主应力·主应力迹线的概念PrincipalStressinBeam·PrincipalStressTrajectorieszxyxM)(sbIQSzzx*txyytts002222231zxxxsstssss对横力弯曲梁,其任一横截面上的应力为:且在纵截面上:故其沿梁高的应力变化情况如图所示。其上一般点的主应力为:可见,梁上任一点一般有一主拉应力和一主压应力。梁的主应力迹线是指这样一簇曲线,其上的每一点之切线方向均与该点的主应力方向重合。2020/1/27材料力学§9-3梁的主应力·主应力迹线的概念PrincipalStressinBeam·PrincipalStressTrajectories作业:9-13因此,梁上存在两组相互正交的主应力迹线簇——主拉应力迹线和主压应力迹线。显然,主应力迹线的形状与梁上荷载情况及其支承条件有关。在设计钢筋混凝土构件时,其上的主拉应力迹线可指导构件的配筋。在光弹实验中常用到主应力迹线的概念。2020/1/27材料力学§9-4空间应力状态的研究IntroductiontoAnalysisofTriaxialStressStatezzyzxyzyyxxzxyxMstttstttss如图所示,一般的空间应力状态是一个二阶张量。它可用一3×3的矩阵来表示。通常,在剪应力tij的两个下标中,第一个下标i表示剪应力所在的平面,第二个下标j表示剪应力的方向。2020/1/27材料力学例题9-4:自学。§9-4空间应力状态的研究IntroductiontoAnalysisofTriaxialStressStateI.三向应力圆(Three---DimensionalStressCircle)45:2131max3min1maxasstssss且可见:2020/1/27材料力学解:该单元体有一个已知的主应力sz=20MPa。因此,与该主平面正交的各截面上的应力与主应力sz无关,于是,可依据x截面和y截面上的应力画出应力圆(图b)。从图上可量得两个主应力值为46MPa和-26MPa。将该单元体的三个主应力按其代数值的大小顺序排列为:s1=46MPa，s2=20MPa，s3=-26MPa§9-4空间应力状态的研究IntroductiontoAnalysisofTriaxialStressState例题9－3单元体各面上的应力如图a所示。作应力圆,并求出主应力和最大剪应力值及其作用面方