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简单的逻辑联结词、量词1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．2．理解全称量词与存在量词的意义．3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．2．用联结词“或”联结命题p和命题q，记作，读作“”．[理要点]一、简单的逻辑联结词1．用联结词“且”联结命题p和命题q，记作，读作“”．p∧qp且qp∨qp或q綈p3．对一个命题p全盘否定记作，读作“非p”或“p的否定”．4．命题p∧q，p∨q，的真假判断．p∧q中p、q有一假为，p∨q有一真为，p与非p必定是．綈p真一真一假假二、全称量词与存在量词1．全称量词与全称命题(1)短语“”、“”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．(2)含有的命题，叫做全称命题．(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：，读作“”．所有的任意一个∀全称量词∀x∈M，p(x)对任意x属于M，有p(x)成立2．存在量词与特称命题(1)短语“”、“”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．(2)含有的命题，叫做特称命题．(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：，读作“”．存在一个至少有一个∃存在量词∃x0∈M，P(x0)存在一个x0属于M，使p(x0)成立三、含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，p(x)[究疑点]全称命题、特称命题的否定仍然是全称命题、特称命题吗？提示：不是．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．[题组自测]1．如果命题“p且q”与命题“p或q”都是假命题，那么()A．命题“非p”与命题“非q”的真值不同B．命题p与命题“非q”的真值相同C．命题q与命题“非p”的真值相同D．命题“非p且非q”是真命题答案：D2．已知命题p：3≥3；q：3＞4，则下列选项正确的是()A．p∨q为假，p∧q为假，綈p为真B．p∨q为真，p∧q为假，綈p为真C．p∨q为假，p∧q为假，綈p为假D．p∨q为真，p∧q为假，綈p为假解析：命题p：3≥3是真命题，命题q：3＞4是假命题．∴p∨q为真，p∧q为假，綈p为假．答案：D3．指出下列命题的真假：(1)命题：“不等式|x＋2|≤0没有实数解”；(2)命题：“－1是偶数或奇数”．解：(1)此命题是“綈p”的形式，其中p：不等式|x＋2|≤0有实数解．因为x＝－2是该不等式的一个解，所以命题p为真命题，即綈p为假命题．所以原命题为假命题．(2)此命题是“p∨q”的形式，其中p：－1是偶数，q：－1是奇数，因为命题p为假命题，命题q为真命题，所以“p∨q”为真命题，故原命题为真命题．4．写出由下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式的复合命题，并判断真假．(1)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相垂直；(2)p：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同；q：方程x2＋x－1＝0的两实根的绝对值相等．解：(1)p∨q：平行四边形的对角线相等或互相垂直．假命题．p∧q：平行四边形的对角线相等且互相垂直．假命题．綈p：有些平行四边形的对角线不相等．真命题．(2)p∨q：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同或绝对值相等．假命题．p∧q：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同且绝对值相等．假命题．綈p：方程x2＋x－1＝0的两实根符号不相同．真命题．[归纳领悟]正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是解题的关键，应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断．其步骤为：(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p、q的真假；(3)确定“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式命题的真假.[题组自测]1．(2010·湖南高考)下列命题中的假命题是()A．∃x∈R，lgx＝0B．∃x∈R，tanx＝1C．∀x∈R，x3＞0D．∀x∈R,2x＞0解析：选项A，lgx＝0⇒x＝1；选项B，tanx＝1⇒x＝π4＋kπ(k∈Z)；选项C，x3＞0⇒x＞0；选项D,2x＞0⇒x∈R，故选C.答案：C2．(2010·天津高考)下列命题中，真命题是()A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数C．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数D．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数解析：由于当m＝0时，函数f(x)＝x2＋mx＝x2为偶函数，故“∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)为偶函数”是真命题．答案：A3．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．(1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除．解：(1)本题隐含了全称量词“任意的”，其原命题应为：“任意的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题；(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，且为真命题．4．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．(1)a0，且a≠1，则对任意实数x，ax0；(2)对任意实数x1，x2，若x1x2，则tanx1tanx2；(3)∃T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sinx|；(4)∃x0∈R，使x20＋10.解：(1)、(2)是全称命题，(3)、(4)是特称命题．(1)∵ax＞0(a＞0，a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．(2)存在x1＝0，x2＝π，x1＜x2，但tan0＝tanπ，∴命题(2)是假命题．(3)y＝|sinx|是周期函数，π就是它的一个周期，∴命题(3)为真命题．(4)对任意x∈R，x2＋10.∴命题(4)是假命题．[归纳领悟]1．要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，验证p(x)成立．2．要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使p(x0)不成立即可．3．要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题.[题组自测]1．若命题p：∀x∈R,2x2－10，则该命题的否定是()A．∀x∈R,2x2－10B．∀x∈R,2x2－1≤0C．∃x∈R,2x2－1≤0D．∃x∈R,2x2－10解析：全称命题的否定为特称命题．命题p的否定为存在一个实数x,2x2－1≤0，故选C.答案：C2．命题“存在x∈Z使x2＋2x＋m≤0”的否定是()A．存在x∈Z使x2＋2x＋m0B．不存在x∈Z使x2＋2x＋m0C．对任意x∈Z使x2＋2x＋m≤0D．对任意x∈Z使x2＋2x＋m0答案：D解析：特称(存在性)命题的否定是全称命题．3．写出下列命题的否定，并判断命题的否定的真假，指出命题的否定属全称命题还是特称命题．(1)所有的有理数是实数；(2)有的三角形是直角三角形．解：(1)綈p：存在一个有理数不是实数．假命题，属特称命题．(2)綈p：所有的三角形都不是直角三角形．假命题，属全称命题．4．写出下列命题的否定并判断其真假：(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；(2)p：有的三角形的三条边相等(3)p：菱形的对角线互相垂直；(4)p：∃x0∈N，x20－2x0＋1≤0.解：(1)綈p：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根．因为该方程的判别式Δ＝m2＋40恒成立，故綈p为假命题．(2)綈p：所有的三角形的三条边不全相等．显然綈p为假命题．(3)綈p：有的菱形对角线不垂直．显然綈p为假命题．(4)綈p：∀x∈N，x2－2x＋10.显然当x＝1时，x2－2x＋10不成立，故綈p是假命题．下列命题：①∀x∈R，不等式x2＋2x4x－3均成立；②若log2x＋logx2≥2，则x1；③“若ab0且c0，则cacb”的逆否命题是真命题；④若命题p：∀x∈R，x2＋1≥1，命题q：∃x∈R，x2－x－1≤0，则命题p∧綈q是真命题．其中真命题为()A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④解析：由x2＋2x4x－3推得x2－2x＋3＝(x－1)2＋20恒成立，故①正确；根据基本不等式可知要使不等式log2x＋logx2≥2成立需要x1，故②正确；由ab0得01a1b，又c0，可得cacb，则可知其逆否命题为真命题，故③正确；命题p是真命题，命题q是真命题，所以p∧綈q为假命题．答案：A[归纳领悟]1．弄清命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题否定的前提．2．注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．3．要判断“綈p”命题的真假，可以直接判断，也可以判断“p”的真假，因为p与綈p的真假相反．4．常见词语的否定形式有原语句是都是至少有一个至多有一个对任意x∈A使p(x)真否定形式不是不都是≤一个也没有至少有两个存在x0∈A使p(x0)假一、把脉考情通过对近两年高考试题的统计分析可以看出，在高考中，对全称量词与存在量词的考查，主要以选择题、填空题的形式出现．更多的是将其作为工具进行考查，一般以两种方式出现：一是直接考查，主要判断含有全称量词与存在量词命题的真假；二是考查含有全称量词与存在量词命题的否定．尤其全称命题、特称命题为新课标新增内容，在课改区高考中有升温的趋势，应引起重视．预测2012年高考仍将以全称命题、特称命题的否定和真假判断为主要考点，重点考查学生的逻辑推理能力．二、考题诊断1．(2009·天津高考)命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是()A．不存在x0∈R,20B．存在x0∈R,2≥0C．对任意的x∈R,2x≤0D．对任意的x∈R,2x0解析：特称命题的否定是全称命题，故命题的否定是“对任意的x∈R,2x0”．答案：D0x0x2．(2009·海南、宁夏高考)有四个关于三角函数的命题：p1：∃x∈R，sin2x2＋cos2x2＝12；p2：∃x，y∈R，sin(x－y)＝sinx－siny；p3：∀x∈[0，π],1－cos2x2＝sinx；p4：sinx＝cosy⇒x＋y＝π2.其中的假命题是()A．p1，p4B．p2，p4C．p1，p3D．p2，p3解析：∵对任意x∈R，均有sin2x2＋cos2x2＝1而不是12，故p1为假命题．当x，y，x－y有一个为2kπ(k∈Z)时，sinx－siny＝sin(x－y)成立，故p2是真命题．∵cos2x＝1－2sin2x，∴1－cos2x2＝1－1＋2sin2x2＝sin2x.又x∈[0，π]时，sinx≥0，∴对任意x∈[0，π]，均有1－cos2x2＝sinx，因此p3是真命题．当sinx＝cosy，即sinx＝sin(π2－y)时，x＝2kπ＋π2－y，即x＋y＝2kπ＋π2(k∈Z)，故p4为假命题．答案：A3．(2010·新课标全国卷)已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数．p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数．则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是()A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q4解析：p1是真命题，则綈p1为假命题；p2是假命题，则綈p2为真命题；∴q1：p1∨p2是真命题，q2：p1∧p2是假命题，∴q3：(綈p1)∨p2为假命题，q4：p1∧(綈p2)为真命题．∴真命题是q1，q4.答案：C4．(2010·安徽高考)命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．解析：该命题的否定是“对任何x∈R，都有x2＋2x＋5≠0”．答案：对任何x∈R，都有x2＋2x＋5≠0点击此图片进入“课时限时检测”