1718正方体的性质及其应用

第二章点、直线、平面之间的位置关系正方体的性质及其应用正方体是空间图形中特殊且内涵丰富的几何图形之一，是长方体的特殊情况，是我们最熟悉的一种几何体．正方体的性质也是我们应该熟知的知识，也是高考中经常要考查的知识点．那么正方体的性质有哪些呢？ＡＤＣＢＡ1Ｃ1Ｂ1Ｄ1栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章点、直线、平面之间的位置关系1．过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC．(1)若PA＝PB＝PC，∠C＝90°，则点O是AB边的________点；(2)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．解析：(1)∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC（斜线相等，射影相等,可利用三角形全等或勾股定理证明）．又∵∠C＝90°，∴O点是AB边的中点．(2)∵PA＝PB＝PC，则OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心．中外一.课前预习检测图1ＡＢＰＣO图2ＡＢＰＣO栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章点、直线、平面之间的位置关系∴O是△ABC的垂心．一.课前预习检测课本P67练习2图2ＡＢＰＣO解析：(3)∵,PBPA,PAPC,BCPPA平面,PBPPC且,BCPBC平面又,BCPA，且又PPAPO,BCOP,BCAO,AOPBC平面，同理ABCO,ACBO,AOPAO平面又,,,3PAPCPCPBPBPA若则O是△ABC的_____心．栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章点、直线、平面之间的位置关系练一练：如图，已知P是△ABC所在平面外一点，PA，PB，PC两两互相垂直，H是△ABC的垂心．求证：PH⊥平面ABC．一.课前预习检测栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章点、直线、平面之间的位置关系[证明]∵PC⊥AP，PC⊥BP，AP∩BP＝P，AP⊂平面APB，BP⊂平面APB,∴PC⊥平面APB．∵AB⊂平面APB，∴PC⊥AB．连接CH，∵H为△ABC的垂心，∴CH⊥AB．∵PC∩CH＝C，PC⊂平面PHC，CH⊂平面PHC，∴AB⊥平面PHC．∵PH⊂平面PHC，∴AB⊥PH.同理可证PH⊥BC．∵AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC且AB∩BC＝B，∴PH⊥平面ABC．练一练：如图，已知P是△ABC所在平面外一点，PA，PB，PC两两互相垂直，H是△ABC的垂心．求证：PH⊥平面ABC．(资料P40:例3)栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章点、直线、平面之间的位置关系体线对角.性质1:若正方体棱长为，则面对角线，二.正方体的性质探索ＡＤＣＢＡ1Ｃ1Ｂ1Ｄ1aAC2aaAC31正方体外接球直径为.31aAC栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章点、直线、平面之间的位置关系性质2:与正方体一条体对角线的两个顶点分别相连的三个顶点所在的平面平行.即ＡＤＣＢＡ1Ｃ1Ｂ1Ｄ1二.正方体的性质探索1AC.//A111CBDBD平面平面(参见课本P57:例2)栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章点、直线、平面之间的位置关系性质3:与正方体一条体对角线的两个顶点分别相连的三个顶点所在的平面与这条体对角线垂直.即ＡＤＣＢＡ1Ｃ1Ｂ1Ｄ1二.正方体的性质探索1AC.,A11111CBDACBDAC平面平面栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章点、直线、平面之间的位置关系ＡＤＣＢFEOO1Ａ1Ｃ1Ｂ1Ｄ1二.正方体的性质探索性质4:与正方体一条体对角线的两个顶点分别相连的三个顶点所在的平面把这条体对角线三等分.即1AC.3111ACFCEFAE栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章点、直线、平面之间的位置关系性质5:与正方体一条体对角线的两个顶点分别相连的三个顶点所在的平面与这条体对角线的交点是各对应三角形的中心.ＡＤＣＢFEOO1Ａ1Ｃ1Ｂ1Ｄ1二.正方体的性质探索1AC即.,A111的中心是的中心是CBDFBDE栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章点、直线、平面之间的位置关系例1：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角．三.例题解析O栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章点、直线、平面之间的位置关系[解]如图，连接BC1交B1C于点O，连接A1O.因为A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，所以A1B1⊥平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1.又因为BC1⊥B1C，所以BC1⊥平面A1B1CD．所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角．设正方体的棱长为a，在Rt△A1BO中，A1B＝2a，BO＝22a，所以BO＝12A1B，∠BA1O＝30°.因此，直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°.例1：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角．(课本P66资料P40:例2)栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章点、直线、平面之间的位置关系例2：如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，求证：平面ACC′A′⊥平面A′BD．三.例题解析思路1：由性质3可知思路2：由正方体性质可知BDAC′A′平面BD⊥平面ACC′A′栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章点、直线、平面之间的位置关系例2：如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，求证：平面ACC′A′⊥平面A′BD．(资料P42:跟踪训练1)证明：在正方体ABCD-A′B′C′D′中，A′A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴A′A⊥BD．∵ABCD为正方形，∴AC⊥BD．由于A′A∩AC＝A，∴BD⊥平面ACC′A′.而BD⊂平面A′BD，∴平面ACC′A′⊥平面A′BD．三.例题解析(参见资料P43:例3)栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章点、直线、平面之间的位置关系练一练：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，过A点作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下列三个结论：(1)点H是△A1BD的中心．(2)AH垂直于平面CB1D1.(3)AC1与B1C所成的角是90°.其中正确结论的序号是________．(1)(2)(3)四.变式训练(资料P45:例3)栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章点、直线、平面之间的位置关系五.课堂小结性质1:若正方体棱长为，a外接球直径为.31aAC性质2:.//A111CBDBD平面平面性质3:.,A11111CBDACBDAC平面平面性质4:.3111ACFCEFAE性质5:.,A111的中心是的中心是CBDFBDEＡＤＣＢFEOO1Ａ1Ｃ1Ｂ1Ｄ1栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章点、直线、平面之间的位置关系六．作业布置必做：课本P78:A5选做：课本P79:B2.