求二元函数极限的几种方法

11.二元函数极限概念分析定义1设函数f在2DR上有定义，0P是D的聚点，A是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数，总存在某正数,使得00(;)PUPD时，都有()fPA,则称f在D上当0PP时，以A为极限，记0lim()PPPDfPA.上述极限又称为二重极限.2．二元函数极限的求法2.1利用二元函数的连续性命题若函数(,)fxy在点00(,)xy处连续，则0000(,)(,)lim(,)(,)xyxyfxyfxy.例1求2(,)2fxyxxy在点(1,2)的极限.解：因为2(,)2fxyxxy在点(1,2)处连续，所以122122lim(,)lim(2)12125.xyxyfxyxxy例2求极限221,1,21limyxyx．解：因函数在1,1点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即221,1,21limyxyx=31．22.2利用恒等变形法将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等.例3求0024limxyxyxy解：0024limxyxyxy00(24)(24)lim(24)xyxyxyxyxy00lim(24)xyxyxyxy001lim241.4xyxy例422220,0,321)31)(21(limyxyxyx．解：原式2222,0,022221213112131lim2312131xyxyxyxyxy22,0,022222216lim121312312131xyxyxyxyxy11022．32.3利用等价无穷小代换一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数.在二元函数中常见的等价无穷小((,)0)uxy，有sin(,)(,)uxyuxy；2(,)1cos(,)2uxyuxy；ln1(,)(,)uxyuxy；tan(,)(,)uxyuxy；arcsin(,)(,)uxyuxy；arctan(,)(,)uxyuxy；(,)1(,)1nuxyuxyn；(,)1(,)uxyeuxy；同一元函数一样，等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用.例5求0011limxyxyxy解：当0x，0y时，有0xy.111()2xyxy，所以000011lim1()2lim1.2xyxyxyxyxyxy这个例子也可以用恒等变形法计算，如：00000011lim11lim(11)(11)1lim111.2xyxyxyxyxyxyxyxyxy42.4利用两个重要极限(,)0sin(,)lim1(,)uxyuxyuxy，1(,)(,)0lim1(,)uxyuxyuxye它们分别是一元函数中两个重要极限的推广.例6求极限21lim(1)xxyxyaxy.解：先把已知极限化为22()11lim(1)lim(1)xxxyxyxyxyxxyayaxyxy，而211limlim,()(1)xxyayaxyxyxyayx当,xya时1,0xyxy，所以1lim(1).xyxyaexy故原式=2()11lim(1).xxyxyxyxyaaxye例7求0sin()limxyaxyx极限.解：因为sin()sin().xyxyyxxy，当0,xya时，0xy，所以sin()1xyxy，再利用极限四则运算可得：000sin()sin()sin()limlim.lim.lim.xxyaxyyayaxyxyxyyyaxxyxy·1=a.这个例子也可以用等价无穷小代换计算，如：当0x，ya时，0xy，sin()xyxy.5所以，00sin()limlimlim.xxyayayaxyxyyaxx2.5利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量的结论例8求30011lim()sincosxyxyxy解:因为300lim()0xyxy是无穷小量，11sincos1xy是有界量，故可知，30011lim()sincos0.xyxyxy例9求22232(3)(2)lim(3)(2)xyxyxy解原式=2232(3)(2)lim(3)(3)(2)xyxyxxy因为222222(3)(2)(3)(2)1(3)(2)22(3)(2)xyxyxyxy是有界量，又32lim(3)0xyx是无穷小量，所以，22232(3)(2)lim0(3)(2)xyxyxy.虽然这个方法计算实际问题上不那么多用，但计算对无穷小量与有界量的乘积形式的极限的最简单方法之一.2.6利用变量替换法通过变量替换可以将某些二元函数的极限转化为一元函数的极限来计算，6从而使二元函数的极限变得简单.但利用时一定要满足下面的定理。定理：函数,fxy点00,xy的取心领域内有定义的且cosa、cosb沿向量0,0xxyy的方向余弦，若二元函数的极限000limcos,costxtaytbA,则1若A的值与a、b无关，则00,,lim,xyxyfxyA；2若A的值与a、b有关，则00,,lim,xyxyfxy不存在；例10求22()lim()xyxyxye解22222()22()lim()lim2xyxyxxyyxyxyxyeexxyy因0,0xy时，222212xyxxyy，令xyt，显然满足定理的条件，则22()22limlimlimlim0xytttxtttyxytteeee，所以，22()lim()0xyxyxye.例11求极限2222001coslimtanxyxyxy解：令22uxy又220000limlim0xxyyuxy显然满足定理的条件，则222222222000001cos1cossin1sin1limlimlimlimcostan2sec22tanxuuuyxyuuuuuuuuxy2.7利用夹逼准则二元函数的夹逼准则：设在点000(,)Pxy的领域内有(,)(,)(,)hxyfxygxy，且0000(,)(,)(,)(,)lim(,)lim(,)xyxyxyxyhxygxyA（常数），7则00(,)(,)lim(,)xyxyfxyA.但要注意求二元函数极限时是对两个变量同时放缩．例12求2200limxyxyxy解:因为222()00(0,0)xyxyxyxyxyxy，由夹逼准则，得2200lim0xyxyxy.例13求极限222)sin(limyxyxyx．解:222221)sin(0yxyxyx，又01lim22yxyx，故222)sin(limyxyxyx=0．2.8先估计后证明法此方法的运用往往是先通过观察推断出函数的极限，然后用定义证明.例14求函数2222(,)xyfxyxy在点(0,0)处的极限.解:此例分2部考虑：8先令ykx，考虑(,)fxy沿ykx(,)(0,0)xy时的极限，4242222222220000lim(,)limlimlim0(1)1xxxxykxxkxkkfxyxxxkxkk.因为路径ykx为特殊方向，因此我们还不能判断出极限为0.所以下面用定义检验极限是否为0：因为222222222222222()(,)002()2()xyxyxyxyxyxyfxyxyxyxyxy10022xyxy于是，0,取20,(,):0,0xyxy且2222102xyxy=2222，所以222200lim0xyxyxy.例15.求224,xyfxyxy在0,0的极限.解：若函数224,xyfxyxy中动点,pxy沿直线ykx趋于原点0,0，则2222322424244242,0,0,0,limlimlimlim01xyxykxxoxoxyxyxkxxkxyxyxkxxkx即函数224,xyfxyxy中动点,pxy沿着无穷多个方向趋于原点时，它的极限为0；但根据这个我们不能说它的极限为0；由于动点,pxy沿着其它的路径，比如沿抛物线yx趋于原点时，其极限为224,0,0limxyxyxy2224220,0,1limlim2xxyxxyxxyxx从而判断出224,0,0limxyxyxy不9存在；通过例子我们得出任意方向不能代表任意路径，也就是说，我们沿动点,pxy不仅任何路径而且还必须任意方向；2.9利用极坐标法当二元函数中含有22xy项时，考虑用极坐标变换：cos,sinxy通过综合运用恒等变换，不等式放缩等方法将二元函数(,)fxy转化为只含有参量的函数()g，进而求二元函数的极限.例16计算2222(,)(0,0)lim()sinxyxyxyxy解:极限中的二元函数含有22xy，令cos,sinxy，使得222222(sincos)0()sinsinxyxyxy，200lim00,lim0，由夹逼准则得，20(sincos)limsin0所以，2222(,)(0,0)lim()sin0xyxyxyxy.例17求极限22400limxyxyxy.解：若令t为变量，使cos,sinxtyt且,2o，则2222224cossin0cossinxytxyt，当,xy0,0时，t0.对任意固定的上式均趋于0，但不能下结论说22400limxyxyxy=0.事实上22400limxyxyxy不存在，这只10让,xy沿着任意方向ykx趋于定点(0,0)，此时224200lim1xyxykxyk.=在运用此方法时注意，经过初等变换后的函数满足用迫敛性得函数的极限为a；若化简后的函数为(,)g，但对于某个固定的00,(,)0g，仍不能判断函数的极限为a.2.10利用累次极限法一般情况下，累次极限存在并不能保证二重极限存在，但二元函数(,)fxy满足定理2的条件，就可以利用累次极限0000limlim(,)limlim(,)xxyyyyxxfxyfxy或来计算极限.定理2若(,)fxy在点00(,)xy存在重极限00(,)(,)lim(,)xyxyfxy与两个累次极限0000limlim(,),limlim(,)xxyyyyxxfxyfxy，则它们必相等.例18求极限4422(,)(0,0)limxyxyxy解:44222222222()xyyyxxyxyxy，对任意4402220(0,),limyxyxUxxy一致的成立；而对4402220(0,),limxxyyUyxy存在，根据定理1，得444422222(,)(0,0)000limlimlimlim0xyxyxxyxyxxyxy