第三章 平稳时间序列分析

第三章平稳时间序列分析本章结构方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测3.1方法性工具差分运算延迟算子线性差分方程差分运算一阶差分阶差分步差分pk1tttxxx111tptptpxxxkttkxx延迟算子延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻记B为延迟算子，有1,pxBxtppt延迟算子的性质，其中10B为任意常数cxcxBcxcBttt,)()(111)(ttttyxyxBnttnxxBiniinnnBCB0)1()1()!(!!ininCin用延迟算子表示差分运算阶差分步差分pkitpiipptptpxCxBx0)1()1(tkkttkxBxx)1(线性差分方程线性差分方程齐次线性差分方程)(2211thzazazazptpttt02211ptptttzazazaz齐次线性差分方程的解特征方程特征方程的根称为特征根，记作齐次线性差分方程的通解不相等实数根场合有相等实根场合复根场合02211ppppaaap,,,21tpptttcccz2211tpptddtddtcctctccz111121)(tpptititttccececrz3321)(非齐次线性差分方程的解非齐次线性差分方程的特解使得非齐次线性差分方程成立的任意一个解非齐次线性差分方程的通解齐次线性差分方程的通解和非齐次线性差分方程的特解之和tttzzztz)(2211thzazazazptpttttz3.2ARMA模型的性质AR模型（AutoRegressionModel）MA模型（MovingAverageModel）ARMA模型（AutoRegressionMovingAveragemodel）AR模型的定义具有如下结构的模型称为阶自回归模型，简记为特别当时，称为中心化模型tsExtsEVarExxxxtsstttptptpttt,0,0)(,)(0)(0222110，p)(pAR00)(pARAR(P)序列中心化变换称为的中心化序列，令p101ttxy}{ty}{tx自回归系数多项式引进延迟算子，中心化模型又可以简记为自回归系数多项式)(pARttxB)(ppBBBB2211)(AR模型平稳性判别判别原因AR模型是常用的平稳序列的拟合模型之一，但并非所有的AR模型都是平稳的判别方法单位根判别法平稳域判别法例3.1:考察如下四个模型的平稳性1(1)0.8tttxx1(2)1.1tttxx12(3)0.5ttttxxxttttxxx115.0)4(例3.1平稳序列时序图1(1)0.8tttxx12(3)0.5ttttxxx例3.1非平稳序列时序图1(2)1.1tttxxttttxxx115.0)4(AR模型平稳性判别方法特征根判别AR(p)模型平稳的充要条件是它的p个特征根都在单位圆内根据特征根和自回归系数多项式的根成倒数的性质，等价判别条件是该模型的自回归系数多项式的根都在单位圆外平稳域判别平稳域},,,{21单位根都在单位圆内pAR(1)模型平稳条件特征根平稳域1〈AR(2)模型平稳条件特征根平稳域24242211222111}11,{12221，且例3.1平稳性判别8.010.81.111.1211i212i221210.5,0.5,1.523112312221210.5,1.5,0.5模型特征根判别平稳域判别结论(1)平稳(2)非平稳(3)平稳(4)非平稳平稳AR模型的统计性质均值方差协方差自相关系数偏自相关系数均值如果AR(p)模型满足平稳性条件，则有根据平稳序列均值为常数，且为白噪声序列，有推导出p101)(110tptpttxxEExTtEExtt,0)(,}{tGreen函数定义AR模型的传递形式其中系数称为Green函数},2,1,{jGjjtjjjpijtjiipijtjiipitiittGkBkBkBx001101)(1)(Green函数递推公式原理方法待定系数法递推公式pkpkjGGGkkkjjkkj,0,,,2,1110其中，ttttttBGBBGxxB)()()()(方差平稳AR模型的传递形式两边求方差得函数为GreenGGxVarjjjt,)(202jtjjtGx0例3.2:求平稳AR(1)模型的方差平稳AR(1)模型的传递形式为Green函数为平稳AR(1)模型的方差itiitiittBBx01011)(1,1,0,1jGjj2122021021)()(jjtjjtVarGxVar协方差函数在平稳AR(p)模型两边同乘，再求期望根据得协方差函数的递推公式)()()()(11kttktptpkttkttxExxExxExxEktx1,k0)(kttxE1,kpkpkkk2211例3.3:求平稳AR(1)模型的协方差递推公式平稳AR(1)模型的方差为协方差函数的递推公式为0111kkk212011,12121kkk例3.4:求平稳AR(2)模型的协方差平稳AR(2)模型的协方差函数递推公式为21)1)(1)(1(12211201122121220kkkk，自相关系数自相关系数的定义平稳AR(P)模型的自相关系数递推公式0kk1122kkkpkp常用AR模型自相关系数递推公式AR(1)模型AR(2)模型0,1kkk2110,1221121kkkkkkAR模型自相关系数的性质拖尾性呈复指数衰减1()pkiiikc不能恒等于零pccc,,,211()pkiiikc0例3.5:考察如下AR模型的自相关图ttttttttttttttxxxxxxxxxx2121115.0)4(5.0)3(8.0)2(8.0)1(例3.5—自相关系数按复指数单调收敛到零1(1)0.8tttxx例3.5:—1(2)0.8tttxx例3.5:—自相关系数呈现出“伪周期”性12(3)0.5ttttxxx例3.5:—自相关系数不规则衰减12(4)0.5ttttxxx偏自相关系数定义对于平稳AR(p)序列，所谓滞后k偏自相关系数就是指在给定中间k-1个随机变量的条件下，或者说，在剔除了中间k-1个随机变量的干扰之后，对影响的相关度量。用数学语言描述就是121,,,ktttxxxktxtx2,,,)ˆ[()]ˆ)(ˆ[(11ktktktktttxxxxxExExExxExEkttktt偏自相关系数的计算滞后k偏自相关系数实际上就等于k阶自回归模型第个k回归系数的值。02211202112112011kkkkkkkkkkkkkkkkk])ˆ[()]ˆ)(ˆ[(2ktktktktttkkxExExExxExE偏自相关系数的截尾性AR(p)模型偏自相关系数P阶截尾pkkk,0例3.5续:考察如下AR模型的偏自相关图ttttttttttttttxxxxxxxxxx2121115.0)4(5.0)3(8.0)2(8.0)1(例3.5—理论偏自相关系数样本偏自相关图1(1)0.8tttxx0.8,10,2kkkk例3.5:—理论偏自相关系数样本偏自相关图1(2)0.8tttxx0.8,10,2kkkk例3.5:—理论偏自相关系数样本偏自相关图12(3)0.5ttttxxx2,130.5,20,3kkkkk例3.5:—理论偏自相关系数样本偏自相关系数图12(4)0.5ttttxxx2,130.5,20,3kkkkkMA模型的定义具有如下结构的模型称为阶自回归模型，简记为特别当时，称为中心化模型q)(qMA0)(qMA112220()0(),()0,ttttqtqqtttsxEVarEst，移动平均系数多项式引进延迟算子，中心化模型又可以简记为阶移动平均系数多项式)(qMAttBx)(qqqBBBB2211)(MA模型的统计性质常数均值常数方差）（qtqttttEEx221122212211)1()()(qqtqttttVarxVarMA模型的统计性质自协方差函数P阶截尾自相关系数P阶截尾qkqkkkqiikikqk,01,)(0,)1(212221qkqkkqkqiikikk,01,10,12211常用MA模型的自相关系数MA(1)模型MA(2)模型2,01,10,1211kkkk3,02,11,10,1222122221211kkkkkMA模型的统计性质偏自相关系数拖尾))((11111qktqktqtqtkk零不会在有限阶之后恒为不恒为零kkq,1例3.6:考察如下MA模型的相关性质212111162545)4(251654)3(5.0)2(2)1(ttttttttttttttxxxxMA模型的自相关系数截尾112tttx（）120.5tttx（）MA模型的自相关系数截尾124163525ttttx（）125254416ttttx（）MA模型的偏自相关系数拖尾112tttx（）120.5tttx（）MA模型的偏自相关系数拖尾124163525ttttx（）125254416ttttx（）MA模型的可逆性MA模型自相关系数的不唯一性例3.6中不同的MA模型具有完全相同的自相关系数和偏自相关系数212