第三章 平面力系的平衡

第三章平面力系的平衡内容提要本章介绍力的平移定理，平面一般力系的简化、平衡方程及其在工程中的应用。本章是对结构或构件进行静力分析的关键。掌握其基本内容和分析问题的方法既为学习后续知识打基础，又可直接用于解决许多工程实际问题。3.1力的平移定理3.2平面力系向一点的简化3.3平面力系的平衡方程及其应用本章内容小结3.1力的平移定理1.平面力系的定义平面力系——如果作用于物体上各力的作用线都在同一平面内，则这种力系称为平面力系。屋架受到屋面自重和积雪等重力荷载W、风力F以及支座反力FAx、FAy、FB的作用，这些力的作用线在同一平面内，组成一个平面力系。水坝通常取单位长度的坝段进行受力分析，并将坝段所受的力简化为作用于坝段中央平面内的一个平面力系。2.力的平移定理作用于刚体上的力，可平行移动到刚体内任一指定点，但必须在该力与指定点所决定的平面内同时附加一力偶，此附加力偶的矩等于原力对指定点之矩。M作用于刚体A点的力F，如将力F平行移动到刚体内任一点O，但不能改变力对刚体的作用效应，力F和F组成一个力偶M，FdMMO)(F证明那么就要在O点加上一对平衡力F、F，且F＝F＝F。M根据力的平移定理，也可以将同一平面内的一个力和一个力偶合成为一个力。力的平移定理不仅是力系向一点简化的理论依据，也是分析力对物体作用效应的一个重要方法。轴向力使柱压缩，而附加力偶M将使柱弯曲。Fe3.2平面力系向一点的简化3.2.1平面力系向一点的简化将各力向简化中心O点平移设在物体上作用有平面一般力系F1，F2，…，Fn，如图(a)所示。得到一个平面汇交力系和一个平面力偶系。)(,,)(,)(,,,2211'2'21'1nOOnOOOOnnFMMFMMFMMFFFFFF，即等于力系中所有各力的矢量和，称为该力系的主矢。它的大小和方向与简化中心的选择无关。FFFRFOnOOOOMMMMM21即等于原力系中各力对简化中心O之矩的代数和，称为该力系对简化中心O的主矩。它的大小和转向与简化中心的选择有关。结论：平面一般力系向作用面内任意一点简化，一般情形下，得到一个力和一个力偶。所得力的作用线通过简化中心，其矢量称为力系的主矢，它等于力系中所有力的矢量和；所得力偶仍作用于原平面内，其力偶矩称为原力系对于简化中心的主矩，数值等于力系中所有力对简化中心之矩的代数和。3.2.2力在坐标轴上的投影由力F的起点A和终点B分别向坐标轴作垂线，设垂足分别为a1、b1和a2、b2，线段a1b1、a2b2冠以适当的正负号称为力F在x轴和y轴上的投影，分别记作X、Y，即X=±a1b1Y=±a2b2b2b1a1XYa2OxyABF规定：从a1到b1（或a2到b2）的指向与坐标轴正向相同时取正，相反时取负。已知力求投影：已知力F的大小及力F与x、y轴正向间的夹角分别为α、β，则有coscosFYFX●当α、β为钝角时，为了计算简便，往往先根据力与某轴所夹的锐角来计算力在该轴上投影的绝对值，再由观察来确定投影的正负号。已知投影求力XYYXFtan22已知力F在直角坐标轴上的投影为X、Y，则力F的大小及方向为b2b1a1XYa2OxyABFα力F沿平面直角坐标轴分解的表达式为YjXiFFFyx力沿直角坐标轴分解的表达式3.2.3主矢和主矩的计算1.主矢的计算主矢在某轴上的投影等于力系中各力在同轴上投影的代数和。YYYYYXXXXXnn21R21R证明设主矢在x、y轴上的投影分别为XR、YR，则有RF=XRi+YRj设平面力系中各力F1，F2，…，Fn在x、y轴上的投影分别为Xi，Yi，则有F1+F2+…+Fn=(X1i+Y1j)+（X2i+Y2j）+…+（Xni+Ynj）=（X1+X2+…+Xn）i+（Y1+Y2+…+Yn）j比较上两式后得到YYYYYXXXXXnn21R21R主矢的大小及方向分别为XYYXFtan22R2.主矩的计算主矩MO等于原力系中各力对简化中心O之矩的代数和。FMMMMMOnOOOO213.2.4平面力系简化结果的讨论平面力系向一点简化的最终结果为以下三种可能的情况。（1）力系可简化为一个合力偶当时，力系与一个力偶等效，即力系可简化为一个合力偶，合力偶的矩等于主矩。此时，主矩与简化中心的位置无关。0,0'ROMF（2）力系可简化为一个合力1)当时，力系与一个力等效，即力系可简化为一个合力。合力等于主矢，合力的作用线通过简化中心。0,0'ROMF2)当时，合力的大小、方向与主矢相同，合力的作用线不通过简化中心，它到简化中心O点的距离为0,0'ROMFRFMdO证明根据力的平移定理逆过程，可将和MO简化为一个合力FR。RFMORRRRR（3）力系处于平衡状态当=0，MO=0时，力系处于平衡状态。RF【例3.1】如图所示一小型砌石坝，取1m长的坝段来考虑，将坝所受重力和静水压力简化到中央平面内，得到力W1、W2和F。已知W1=600kN，W2=300kN，F=350kN。求此力系分别向O和A点简化的结果。如能进一步简化为一个合力，再求合力作用线的位置。A1.5m1.5m1mW1W2FO3m【解】1）力系向O点简化。力系的主矢F'R在x、y轴上的投影分别为kN350RFXXkN90021RWWΣYY主矢的大小和方向分别为kN7.96522RYXF68.75571.2tanXYyA3m1.5m1mW1W2OxFF'Rα1.5m力系的主矩为mkN450m)1(m)5.1(m)3(21WWFFMMOOMOyA3m1.5m1mW1W2OxFF'Rα1.5m主矢F'R与主矩MO还可进一步简化为一个合力FR，其大小、方向与主矢F'R相同。设合力FR的作用线与x轴的交点B到O点的距离为d1，由合力矩定理，有OMdFsin·1RMOyA3m1.5m1mW1W2OxFF'Rα1.5m因，故RRsinYFm5.0R1YMdOMOyA3m1.5m1mW1W2OxFF'Rαd1B1.5mmkN3150m)4(m)5.1(m)3(21WWFFMMAAyA3m1.5m1mW1W2OxFF'RMAα2）力系向A点简化。主矢与上面的计算相同。主矩为RF1.5m最后可简化为一个合力，合力作用线与x轴的交点到A点的距离为m5.3R2YMdAByA3m1.5m1mW1W2OxFF'RMAα显然，合力作用线仍通过B点。1.5md2●力系无论向哪一点简化，其最终简化结果总是相同的。这是因为一个给定的力系对物体的效应是唯一的，不会因计算途径的不同而改变。【例3.2】求图示线性分布荷载的合力及其作用线的位置。O【解】离左端点O为x处的集度为xllqxq0合力FR的大小为2dd0000RlqxlxlqxxqFllo应用合力矩定理，有6dd20000RRlqxxxllqFxFxFMllCOo故合力FR的作用线离O点距离为3266020R20llqlqFlqxC合力FR的方向与分布荷载的方向相同。oFR●线分布荷载合力的大小等于荷载图的面积，合力的作用线通过荷载图的形心，合力的指向与分布力的指向相同。●在求解平衡问题时，线分布荷载可以用其合力来替换。3.3平面力系的平衡方程及其应用3.3.1平面力系的平衡方程1.平面力系平衡的充要条件力系的主矢和对任一点的主矩都等于零，即00ROMF2.平面力系平衡方程的形式（1）基本形式000OMYX前两式称为投影方程，它表示力系中所有各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零；后一式称为力矩方程，它表示力系中所有各力对任一点之矩的代数和等于零。（2）二力矩式00)0(0BAMMYX或式中A、B两点的连线不能与x轴(或y轴)垂直。（3）三力矩式000CBAMMM式中A、B、C三点不能共线。●解题时可以根据具体情况选取某一种形式。平面力系只有三个独立的平衡方程，只能求解三个未知量。3.3.2平面力系平衡方程的应用1.应用平面力系的平衡方程求解平衡问题的步骤如下：(1)选取研究对象。根据问题的已知条件和待求量，选择合适的研究对象。(2)画受力图。画出所有作用于研究对象上的外力。(3)列平衡方程。适当选取投影轴和矩心，列出平衡方程。(4)解方程。2.基本技巧在列平衡方程时，为使计算简单，通常尽可能选取与力系中多数未知力的作用线平行或垂直的投影轴，矩心选在两个未知力的交点上；尽可能多的用力矩方程，并使一个方程只含一个未知数。【例3.3】悬臂吊车如图（a）所示。已知梁AB重W1=4kN，吊重W=20kN，梁长l=2m，重物到铰链A的距离x=1.5m，拉杆CD的倾角。求拉杆CD所受的力和铰链A处的反力。【解】1)选取研究对象。因已知力和未知力都作用于梁AB上，故取梁AB为研究对象。AB2)画受力图。作用于梁AB上的力有：重力W1、W，拉杆CD的拉力FT和铰链A处的反力FAx、FAy（指向假定）。这些力组成一个平面力系。ABW1WFAxFTFAyl/2xl30o3)列平衡方程并求解。采用平衡方程的基本形式。先取B点为矩心，列出力矩方程。0201lFxlWlWMAyB得Nk7AyFABW1WFAxFTFAyl/2xl30o再取y轴为投影轴，列出投影方程0sin01TWWFFYAy得Nk34TFABW1WFAxFTFAyl/2xl30o最后取x轴为投影轴，列出投影方程0cos0TFFXAx得Nk44.29cosTFFAxFAx、FAy的计算结果为正，说明力的实际方向与假设的相同（若为负，则相反）。ABW1WFAxFTFAyl/2xl30o4)讨论。（a）本题若列出对A、B两点的力矩方程和在x轴上的投影方程，即0sin20T1lFWxlWMA0201lFxlWlWMAyB0cos0TFFXAx则同样可求解。ABW1WFAxFTFAy(b)本题也可列出对A、B、C三点的三个力矩方程求解，即0sin20T1lFWxlWMA0201lFxlWlWMAyB02tan01WxlWlFMAxC试比较三种解法的优缺点。CFTABW1WFAxFTFAy【例3.4】梁AB如图（a）所示。已知F＝2kN，q＝1kN/m，M＝4kN，a＝1m，求固定端A处的反力。【解】1)选取研究对象。选取梁AB为研究对象。AB2)画受力图。梁AB除受主动力作用外，在固定端A处还受到约束反力FAx、FAy和约束反力偶MA的作用，指向假定如图所示。MAFAyFAx3)列平衡方程并求解。0320aFMaaqMMAA得mkN4AM00AxFX020FaqFYAy得kN4AyFMAFAyFAx●均布荷载q用其合力代替；由于力偶中的两个力在同一轴上投影的代数和等于零，故在列投影方程时不必考虑力偶。3.3.3平面力系的几个特殊情况3.平面平行力系1.平面汇交力系2.平面力偶系1.平面汇交力系平面汇交力系的平衡方程为00YX●平面汇交力系只有两个独立的平衡方程，只能求解两个未知量。【例3.5】桁架的一个结点由四根角钢铆接在连接板上构成。已知杆A和杆C的受力分别为FA=4kN，FC=2kN，方向如图所示。求杆B和杆D的受力FB和FD。【解】取连接板为研究对象，受力如图所示，其中力FB和FD的方向为假设。连接板在平面汇交力系FA、FB、FC、FD作用下平衡，列出平衡方程∑X=0－FB－FC+FDcos45o+FAcos30o=0∑Y=0