经济函数与极限

第1页经济函数与极限10学时导数及其经济应用16学时积分及其经济应用16学时线性代数初步及其经济应用12学时数学实验10学时训练10学时，考核8学时，机动2学时《经济数学》教学课件第2页经济数学◆授课人：吴晓明◆授课内容：于桂平主编《经济数学基础》第1章至第4章（第4章只讲4.1,4.2）◆考核方式：第3页第1章经济函数与极限函数、常用经济函数函数的极限极限的运算函数的连续性数学实验（一）训练（一）本章内容微积分基础函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁第4页•在经济分析中，需要以大量的经济变量之间的对应关系为其研究对象．如储蓄额、投资额等会随着国民收入、利率的变化而变化；商品的总成本、收益、利润将随着市场需求量的变化而变化．函数关系反应的就是变量之间的对应关系，也是高等数学研究的对象；极限方法是研究变量对应关系的基本方法，也是高等数学研究问题的主要思想．•本章将在初等数学的基础上，复习函数的概念及相关内容，学习经济分析中常用的函数，并对函数极限的相关内容作详细介绍．引言第5页1.1函数目标重点•会合成和分解复合函数•正确分解复合函数难点•正确分解复合函数•会表示用适当的方式表示函数•正确表示函数第6页1.1函数一、函数概念二、初等函数1.基本初等函数2.复合函数3初等函数第7页一、函数概念引例1存款年利率r，若把k元存入银行，按复利计算，则n年后本利和为：nnrkS)1()10(r引例2某企业每年生产某产品300吨，固定成本15万元，每生产一吨成本增加0.5万元，则总成本与产量之间的关系为：155.0)(QxC)3000(Q第8页DxfDxxfyyDfy),()((对应规则)(值域)(定义域)1.函数定义确定函数的要素：定义域和对应法则函数关系指的是：对应法则2.邻域)0(),(00xx)0(),(),(0000xxxx0x称为的邻域空心邻域3.表示法：列表、公式、图像法见教材例3-例54.二元函数概念、函数性质（自学）一、函数概念第9页二、初等函数1.基本初等函数常数函数、幂函数、指数函数、2.复合函数对数函数、三角函数、反三角函数此外多项式函数在复合函数的合成和分解中可视为基本初等函数。下列两个函数能否构成新的函数关系？引例（1）（2）,uy22xu,uy22xu前者能，后者不能，由于前者后者),,0[)(yD],2,()(uZ)()(uZyD],2,()(uZ)()(uZyD第10页2.复合函数定义说明（1）合成原则：由内向外依次代入；1ln2xuuy与，uZyD时如果当)()(),(),(xuufy设函数.，,)()()]([为函数值为中间变量为自变量数，的复合函和是则称函数yuxxuufyxfy（2）分解原则：由外向内分解为基本初等函数、且回代能还原。练1下列函数能否构成复合函数，若能请写出来。.1)1ln(2xuuy与第11页2.复合函数例1解分解下列复合函数(1)是由xy2sin)1(xy5cos)2(3tan)3(xy21)4(xy.sin，2复合而成xuuy(2)是由.5，cos复合而成xuuy(3)是由.，tan3复合而成xuuy(4)是由.1，2复合而成xuuy第12页2.复合函数例2解分解下列复合函数(1)是由)ln(cos)1(2xy32sin)2(xy1sin2e)3(xy52arctanln)4(xy.cos,,ln2复合而成xvvuuy(2)是由.,sin,23复合而成xvvuuy(3)是由.1,,sin,e2复合而成xttvvuyu(4)是由.,arctan,ln,52复合而成xttvvuuy第13页3.初等函数定义由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合所构成的，且用一个解析式表示的函数。课堂训练：分解下列复合函数53)21()1(xxyxy52e)2(xyesin)3(xy1tan3)4(xy3ecos)5()2lg(lg)6(xy2sinln)6(xy53)2arcsin(ln)8(xy第14页小结、思考题、作业小结思考题•分解复合函数要分解到位，不要丢步和多步。分段函数是否为初等函数？已知某人的工资收入，你能否为其算出工资应交税额？作业•自学函数表示法及函数性质•同步训练1.17第15页1.2常用经济函数一、需求函数与供给函数二、成本函数、收益函数、利润函数三、库存函数四、抵押贷款问题第16页1.2常用经济函数目标重点难点•会表示常用的经济函数•会计算抵押贷款的月还款额•正确量化经济问题•贷款期限选择及月还款额计算•正确量化经济问题第17页一、需求函数与供给函数1.“需求”是指一定价格条件下，消费者愿意购买并且有支付能力购买的商品量。设P表示价格，Q表示需求量，将需求量与商品价格间的函数关系Q=f(P)称为需求函数。商品的需求量与价格成反比，故需求函数是单调减函数。常用的需求函数如下：,aPbQ0,ba（1）线性函数，（2）幂函数（3）指数函数,akPQ0,kabpaQe0,ba.35PQ如.23PQ如.e2pQ如第18页一、需求函数与供给函数2.“供给”是指一定价格条件下，生产者愿意出售且有可供出售的商品量。设P表示价格，Q表示供给量，将供给量与商品价格间的函数关系Q=g(P)称为需求函数。商品供给量与价格成正比，供给函数是单调增函数。常用的供给函数如下：,baPQ0,ba（1）线性函数，（2）幂函数（3）指数函数,akPQ0,kabpaQe0,ba.53PQ如.23PQ如.e2pQ如例1收购站当鸡蛋收购价为6元/kg时，每月收购5000kg，若每千克涨价0.2元，可增收500kg，求鸡蛋线性供给函数。第19页一、需求函数与供给函数3.二者关系二者密切相关,曲线相交于一点,即均衡点,如图.)0,(,1babaPbQ，)0,(2dcdcPQQ0P0QP例2设某商品需求函数为供给函数为求均衡价格.解均衡价格处，需求量=供给量得出均衡价格为.0cadbP（1）价格均衡价格，出现“供过于求”，降价；价格总是围绕均衡价格摆动的，当（2）价格均衡价格，出现“供不应求”，涨价.第20页二、成本函数、收益函数、利润函数1.总成本C(Q)：指生产一定数量的产品所需的费用总额，包括固定成本C0和可变成本C1(Q)。即C(Q)=C0+C1(Q)2.总收益R：生产者销售一定量产品所得到的全部收入.设P为价格，Q为产品量，R为总收益，则R=PQ.3.总利润L：产量和售量一致时,利润是产量Q的函数,即L(Q)=R(Q)-C(Q)（1）L(Q)=R(Q)-C(Q)0,盈余生产，盈利；（2）L(Q)=R(Q)-C(Q)0,亏损生产，亏损；（3）L(Q)=R(Q)-C(Q)=0,无盈亏生产，此时的产量为无盈亏产量.第21页三、库存函数工厂为了生产必须存储原料，库存原料既占用资金又有库存费.但分散进货使订货费增大，需要建立库存费、订货费与批量（每批进货的数量）的关系。例3某工厂生产某型号车床，年产量a台，分若干批进行生产，每批生产准备费b元．设每批产品均匀投入市场，且上一批用完后立即生产下一批，即平均库存量为批量的一半．设每年每台库存费c元．为选择最优批量，试求出一年中库存费与生产准备费之和与批量的函数关系．解设批量为x台，库存费与生产准备费之和为P(x)元,则批数为a/x,生产准备费为b.a/x元;库存费为c.x/2元，所以xcxabxP2)(第22页四、抵押贷款问题1.六年按揭贷款最不划算以个人住房公积金贷款为例，不超过5年利率一样，超过5年利率一样，即使贷6年，全按超过5年的利率标准来计算，因此，贷款时选5年以下、5年、10年、10年以上，选6年最不划算。2.月利率的计算月利率r0等于年利率r的1/123.月还款额的计算还款方式有：等额本息还款：每月偿还等额的贷款，能计划收支；等额本金还款：每月偿还本金相同，利息递减，适于还款能力较强的家庭。第23页四、抵押贷款问题下面按等额本息还款方式推导月还款额公式xrPS)1(01)]...1(1[)1()1(020012rxrPxrSS0]1)1[()1(])1()1()1(1[)1(000102000rrxrPrrrxrPSnnnnn等额本息下，月还款额公式如下：设P为贷款本金，r0为月利率，x月还款额，n贷款月数，Sn第n个月后仍欠债主的金额，则1)1()1(000nnrrrPx第24页四、抵押贷款问题例4解小张买房需贷款30万元,按2008年12月23日商业贷款利率下限(7折)计算利息.年利率1-5年4.03%,5-30年4.16%,10年还清,问小张具有什么能力才能贷款买房？还给银行的总利息是多少？P=30万元,月利率467.3120416.00r‰月数n=120故月还款额为：28.06031)003467.01()003467.01(003467.0000300120120x即小张若具备月还贷3060.28元的能力，就可以贷款.还银行的利息总额为3060.28×120-300000=67226.28元.第25页小结、思考题、作业小结思考题你若贷款买房，能否自己算出月还款额？作业•表示经济函数函数时要审清题意•月还款额公式的前提是等额本息还款，用月利率•同步训练1.24-7第26页1.3函数的极限目标重点•理解极限概念，理解并掌握极限思想•极限思想难点正确理解使用极限思想•掌握无穷小（大）的含义、性质、关系•会用无穷小性质、无穷小与无穷大关系求极限•用无穷小性质、无穷小与无穷大关系求极限第27页1.3函数的极限一、极限的概念二、无穷小量与无穷大量1.无穷小量（概念、性质）2.无穷大量3.无穷小与无穷大的关系lim()xfxA0lim()xxfxA第28页一、极限的概念lim()xfxA时的变化趋势当观察下列函数图像x,的极限时)(.1xfx.sin)3(,2)2(),0(11)1(xyxyxxy.,,)(：否则极限不存在时极限存在在称该函数能与某常数无限接近时xxfx小结记作时的极限当为称的值无限地趋于常数函数时若,)(,)(,：xxfAAxfx定义即无限趋于常数数函负半轴延伸到无穷远时轴正沿着当,)(,：Axf、xx意义AxfAxfxxxlim)(lim)(lim第29页一、极限的概念时的变化趋势当观察下列函数图像x,的极限时)(.20xfxx).2(24)2(),1(11)1(2xxxyxxy记作的极限时当为称的值无限地趋于常数函数时若当的空心邻域内有定义在设,)(,)(,,)(：00xxfAAxfxxxxf定义.)(,：000Axfxx、xxxxx无限趋于常数函数时右侧的左侧轴从沿着当意义0lim()xxfxA可知:函数在某点的极限与该点是否有定义无关.第30页一、极限的概念单侧极限(1)左极限:Axfxx)(lim000lim()lim()xxxxfxfxAAxfxx)(lim0(2)右极限:Axfxx)(lim0定理例1设函数.010)(2xxxxxf，，，存在吗?解此题为分段函数在分段点极限存在性问题,可用定理)(lim0xfx左极限0lim)(lim200xxfxx1)1(lim)(lim00xxfxx右极限左、右极限都存在，但不相等，所以极限不存在.第31页（1）定义1.无穷小量说明例2二、无穷小量与无穷大量0)(lim0xfxx0)(limxfx若或则称函数在该变化则称函数在该变化过程中是无穷小量，简称无穷小.通