2016-2017学年高中数学人教A版必修4课件：3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

3．1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式[提出问题]问题1：在公式C(α＋β)，S(α＋β)和T(α＋β)中，若α＝β，公式还成立吗？提示：成立．问题2：在上述公式中，若α＝β，你能得到什么结论？提示：cos2α＝cos2α－sin2α，sin2α＝2sinαcosα，tan2α＝2tanα1－tan2α.[导入新知]二倍角公式[化解疑难]细解“倍角公式”(1)要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义．(2)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是3α2的2倍．这里蕴含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．(3)注意倍角公式的灵活运用，要会正用、逆用、变形用．[例1]求下列各式的值：(1)sinπ12cosπ12；(2)1－2sin2750°；(3)2tan150°1－tan2150°；(4)1sin10°－3cos10°；(5)cos20°cos40°cos80°.化简求值[解](1)原式＝2sinπ12cosπ122＝sinπ62＝14.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos60°＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－3.(4)原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝212cos10°－32sin10°sin10°cos10°＝4sin30°cos10°－cos30°sin10°2sin10°cos10°＝4sin20°sin20°＝4.(5)原式＝2sin20°·cos20°·cos40°·cos80°2sin20°＝2sin40°·cos40°·cos80°4sin20°＝2sin80°·cos80°8sin20°＝sin160°8sin20°＝18.[类题通法]化简求值的四个方向三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．[活学活用]化简：(1)11－tanθ－11＋tanθ；(2)2cos2α－12tanπ4－αsin2π4＋α.答案：(1)tan2θ(2)1[例2](1)已知cosα＋π4＝35，π2≤α3π2，求cos2α＋π4的值；(2)已知α∈－π2，π2，且sin2α＝sinα－π4，求α.条件求值[解](1)∵π2≤α3π2，∴3π4≤α＋π47π4.∵cosα＋π40，∴3π2α＋π47π4.∴sinα＋π4＝－1－cos2α＋π4＝－1－352＝－45.∴cos2α＝sin2α＋π2＝2sinα＋π4cosα＋π4＝2×－45×35＝－2425，sin2α＝－cos2α＋π2＝1－2cos2α＋π4＝1－2×352＝725.∴cos2α＋π4＝22cos2α－22sin2α＝22×－2425－725＝－31250.(2)∵sin2α＝－cos2α＋π2＝－2cos2α＋π4－1，sinα－π4＝－sinπ4－α＝－cosπ2－π4－α＝－cosπ4＋α，∴原方程可化为1－2cos2α＋π4＝－cosα＋π4，解得cosα＋π4＝1或cosα＋π4＝－12.∵α∈－π2，π2，∴α＋π4∈－π4，3π4，故α＋π4＝0或α＋π4＝2π3，即α＝－π4或α＝5π12.[类题通法]解决条件求值问题的方法条件求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．[活学活用]1．已知sinπ4＋αsinπ4－α＝16，α∈π2，π，求sin4α的值．答案：－4292．已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，求锐角α.答案：π6[例3]已知向量a＝(sinA，cosA)，b＝(3，－1)，a·b＝1，且A为锐角．(1)求角A的大小；(2)求函数f(x)＝cos2x＋4cosAsinx(x∈R)的值域．[解](1)由题意得a·b＝3sinA－cosA＝1，2sinA－π6＝1，sinA－π6＝12.由A为锐角得A－π6＝π6，所以A＝π3.倍角公式的综合应用(2)由(1)知cosA＝12，所以f(x)＝cos2x＋2sinx＝1－2sin2x＋2sinx＝－2sinx－122＋32.因为x∈R，所以sinx∈[－1,1]，因此，当sinx＝12时，f(x)有最大值32.当sinx＝－1时，f(x)有最小值－3.所以所求函数f(x)的值域是－3，32.[类题通法]二倍角公式的灵活运用(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．主要形式有：2sinαcosα＝sin2α，sinαcosα＝12sin2α，cosα＝sin2α2sinα，cos2α－sin2α＝cos2α，2tanα1－tan2α＝tan2α.(2)公式的变形用：公式间有着密切的联系，这就要求思考时融会贯通，有目的地活用公式．主要形式有：1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2，1＋cos2α＝2cos2α，cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2.[活学活用](北京高考)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋12cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若α∈π2，π，且f(α)＝22，求α的值．答案：(1)最小正周期为π2，最大值为22(2)9π169.二倍角的配凑问题[典例]已知cosπ4＋x＝35，求sin2x－2sin2x1－tanx的值．[解]原式＝2sinxcosx－2sin2x1－sinxcosx＝2sinxcosx－sinxcosx－sinxcosx＝2sinxcosx＝sin2x.或原式＝sin2x－2sinxcosx·sinxcosx1－tanx＝sin2x－sin2xtanx1－tanx＝sin2x1－tanx1－tanx＝sin2x.∵2x＝2x＋π4－π2，∴sin2x＝sin2x＋π4－π2＝－cos2x＋π4.∵cosx＋π4＝35，∴cos2x＋π4＝2cos2x＋π4－1＝2×925－1＝－725，∴原式＝－－725＝725.[多维探究]1．解决上面典例要注意角“2x”与“π4＋x”的变换方法，即sin2x＝－cosπ2＋2x＝－cos2π4＋x；常见的此类变换，还有：(1)sin2x＝cosπ2－2x＝cos2π4－x；(2)cos2x＝sinπ2－2x＝sin2π4－x；(3)cos2x＝sinπ2＋2x＝sin2π4＋x.2．倍角公式中的“倍角”是相对的．对于两个角的比值等于2的情况都成立，如8α是4α的二倍角，3α是3α2的二倍角等．在解决此类问题时，有时二倍角关系不是很明显，需要结合条件和结论中的函数名和角的关系去发现．[活学活用]1．若sinπ6－α＝13，则cos2π3＋2α＝________.答案：－792．计算：cos2π7·cos4π7·cos6π7＝________.答案：183．计算：sin10°sin30°sin50°sin70°＝________.答案：1164．求值：sin50°1＋3tan10°－cos20°cos80°1－cos20°.答案：2[随堂即时演练]1．下列各式中，值为32的是()A．2sin15°cos15°B．cos215°－sin215°C．2sin215°D．sin215°＋cos215°答案：B2．化简1＋sin100°－1－sin100°＝()A．－2cos50°B．2cos50°C．－2sin50°D．2sin50°答案：B3．已知α∈π2，π，sinα＝55，则tan2α＝________.答案：－434．函数f(x)＝2cos2x－π4－1的最小正周期为________．答案：π5．已知α为第二象限角，且sinα＝154，求sinα＋π4sin2α＋cos2α＋1的值．答案：－2