2016-2017学年高中数学人教A版选修2-3课件：2.3.2离散型随机变量的方差

2．3.2离散型随机变量的方差[提出问题]A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A机床次品数X10123P0.70.20.060.04B机床次品数X20123P0.80.060.040.10问题1：试求E(X1)，E(X2)．提示：E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.问题2：由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？提示：不能，因为E(X1)＝E(X2)．问题3：试想利用什么指标可以比较加工质量．提示：样本方差．[导入新知]1．定义设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝________________为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．称D(X)为随机变量X的方差，其__________________为随机变量X的标准差．i＝1nxi－EX2pi算术平方根DX2．意义随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离平均值的平均程度．方差或标准差，则随机变量偏离于均值的平均程度．3．性质设a，b为常数，则D(aX＋b)＝．4．两点分布和二项分布的方差XX服从两点分布X～B(n，p)D(X)(其中p为成功概率)np(1－p)越小越小a2D(X)p(1－p)[化解疑难]1．方差与标准差的作用随机变量的方差与标准差一样，都是反映随机变量的取值的稳定与波动、集中与离散程度的，方差越小，取值越集中，稳定性越高，波动性越小；反之，方差越大，取值越不集中，稳定性越差，波动性越大．2．随机变量的方差与样本方差的关系随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差．求离散型随机变量的方差[例1]袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1，2,3,4)．现从袋中任取一个球，X表示所取球的标号．(1)求X的分布列、均值和方差；(2)若Y＝a(X)＋b(a，b∈R)，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．[解](1)X的分布列为X01234P1212011032015∴E(X)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.∴D(X)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.又E(Y)＝aE(X)＋b，∴当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4，∴a＝2，b＝－2或a＝－2，b＝4即为所求．[类题通法]1．离散型随机变量的分布列、均值和方差是三个紧密联系的有机统一体，一般在试题中综合在一起考查，其关键是求出分布列．2．在求分布列时，要注意利用等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式计算概率，并注意结合分布列的性质，简化概率计算．3．对于已知D(X)求D(aX＋b)型，利用方差的性质求解，即利用D(aX＋b)＝a2D(X)求解．[活学活用]编号为1,2,3的三位同学随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位同学一个座位，设与座位编号相同的学生的个数为X，求D(X)．解：由题意可知，X的所有可能的取值为0,1,3.P(X＝0)＝23！＝13；P(X＝1)＝33！＝12；P(X＝3)＝13！＝16.所以，X的分布列为X013P131216E(X)＝0×13＋1×12＋3×16＝1，D(X)＝(0－1)2×13＋(1－1)2×12＋(3－1)2×16＝1.求两点分布、二项分布的方差、标准差[例2]某厂一批产品的合格率是98%.(1)计算从中抽取一件产品为正品的正品数的方差；(2)从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差．[解](1)用ξ表示抽得的正品数，则ξ＝0,1.ξ服从两点分布，且P(ξ＝0)＝0.02，P(ξ＝1)＝0.98，所以由D(ξ)＝p(1－p)＝0.98×(1－0.98)＝0.0196.(2)用X表示抽得的正品数，则X～B(10，0.98)，所以D(X)＝10×0.98×0.02＝0.196，标准差DX≈0.44.[类题通法]解此类问题，首先要确定正确的离散型随机变量，然后确定它是否服从特殊分布，若它服从两点分布，则其方差为p(1－p)；若其服从二项分布，则其方差为np(1－p)(其中p为成功概率)．[活学活用]一个人每天开车上班，从他家到上班的地方有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件相互独立，并且概率都是13.设X为这人途中遇到红灯的次数，求X的均值和方差．解：由题意知X～B6，13，∴E(X)＝np＝6×13＝2，D(X)＝np(1－p)＝6×13×1－13＝43.离散型随机变量的均值、方差的实际应用[例3]甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X与Y，且X，Y的分布列如下：X123Pa0.10.6Y123P0.3b0.3(1)求a，b的值；(2)计算X，Y的期望与方差，并以此分析甲、乙技术状况．[解](1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a＋0.1＋0.6＝1，得a＝0.3.同理0.3＋b＋0.3＝1，得b＝0.4.(2)E(X)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E(Y)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，D(X)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，D(Y)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于E(X)E(Y)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D(X)D(Y)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势．[类题通法]均值体现了随机变量取值的平均大小，但有时仅知道均值大小是不够的，比如：两个随机变量的均值相等(即均值相等)，这时还需要知道随机变量的取值如何在均值附近变化，即计算其方差，方差大说明随机变量取值比较分散；方差小说明随机变量的取值比较集中、稳定．[活学活用]甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为甲保护区X0123P0.30.30.20.2乙保护区Y012P0.10.50.4试评定这两个保护区的管理水平．解：甲保护区的违规次数X的均值和方差分别为：E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保护区的违规次数Y的均值和方差分别为：E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因为E(X)＝E(Y)，D(X)D(Y)，所以两个保护区内每季度发生的平均违规次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散，故乙保护区的管理水平较高．7.错用公式DaX＋b＝a2DX[典例]已知随机变量X的分布列如下表：X－2－1012P0.10.20.40.10.2且Y＝3X＋1，求E(Y)，D(Y)．[解]因为E(X)＝－2×0.1＋(－1)×0.2＋0×0.4＋1×0.1＋2×0.2＝0.1，所以E(Y)＝E(3X＋1)＝3E(X)＋1＝1.3.又因为D(X)＝(－2－0.1)2×0.1＋(－1－0.1)2×0.2＋(0－0.1)2×0.4＋(1－0.1)2×0.1＋(2－0.1)2×0.2＝1.49，所以D(Y)＝D(3X＋1)＝9D(X)＝13.41.[易错防范]1．求解D(Y)时错误类比均值的关系，把D(Y)错误地求解为D(Y)＝D(3X＋1)＝3D(X)＋1＝5.47.2．求解此类问题，学会利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)，将求E(aX＋b)，D(aX＋b)的问题转化为求E(X)，D(X)的问题，从而可以避免求aX＋b的分布列的烦琐的计算，解题时可根据两者之间的关系列出等式，进行相关计算．[成功破障]已知随机变量X的分布列如下表：X01234P0.20.20.30.20.1试求D(X)和D(2X－1)．解：E(X)＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.1＝1.8，所以D(X)＝(0－1.8)2×0.2＋(1－1.8)2×0.2＋(2－1.8)2×0.3＋(3－1.8)2×0.2＋(4－1.8)2×0.1＝1.56.所以D(2X－1)＝4D(X)＝4×1.56＝6.24.[随堂即时演练]1．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝13，k＝3,6,9.则D(X)等于()A．6B．9C．3D．4解析：E(X)＝3×13＋6×13＋9×13＝6.D(X)＝(3－6)2×13＋(6－6)2×13＋(9－6)2×13＝6.答案：A2．已知ξ～B(n，p)，E(ξ)＝8，D(ξ)＝1.6，则n与p的值分别为()A．100和0.08B．20和0.4C．10和0.2D．10和0.8解析：由于ξ～B(n，p)，所以np＝8，np1－p＝1.6，解得n＝10，p＝0.8.答案：D3．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X，Y，已知E(X)＝E(Y)，D(X)D(Y)，则自动包装机________的质量较好．解析：在均值相等的情况下，方差越小，说明包装的质量越稳定，所以自动包装机乙的质量较好．答案：乙4．已知离散型随机变量X的分布列如下表：X－1012Pabc112若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝______，b＝______.解析：由题意得a＋b＋c＋112＝1，－1×a＋0×b＋1×c＋2×112＝0，－1－02×a＋0－02×b＋1－02×c＋2－02×112＝1，解得a＝512，b＝c＝14.答案：512145．已知某运动员投篮命中率p＝0.6.(1)求一次投篮命中次数ξ的均值与方差；(2)求重复5次投篮时，命中次数η的均值与方差．解：(1)投篮一次命中次数ξ的分布列为ξ01P0.40.6则E(ξ)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，D(ξ)＝(0－0.6)2×0.4＋(1－0.6)2×0.6＝0.24.(2)由题意知，重复5次投篮，命中次数η服从二项分布，即η～B(5,0.6)．由二项分布均值与方差的计算公式，有：E(η)＝5×0.6＝3，D(η)＝5×0.6×0.4＝1.2.课时达标检测见课时跟踪检测(十三)