薄透镜成像公式

几何光学物理教研组第十四章几何光学以几何定律和某些基本实验定律为基础的光学称为几何光学。物理教研组一、几何光学的基本定律：1、光在均匀介质中的直线传播定律。2、光通过两种介质分界面时的反射定律和折射定律。折射定律：n1sini1=n2sini23、光的独立传播定律和光路可逆原理。第一节球面折射一、单球面折射研究当两种透明介质的分界面为球面时的折射成像问题。单球面折射成像规律是研究各种透镜和多球面光学系统成像规律的基础。1、单球面折射公式如图14-1所示，MPN为折射率为n1、n2(n2n1)的两种介质的球面分界面，C为球面的曲率中心，曲率半径r。P为球面顶点，PC延长线为球面的主光轴。光线由主光轴上一物点(Object)O发出，经球面A点折射与主光轴交与I，I为像点(Image)。vudCOIPhi2n1n2abi1qrMN图14-1单球面折射A由折射定律，有n1sini1=n2sini2在近轴光线条件下，i1、i2都很小，故sini1≈i1，sini2≈i2由图14-1可见i1=a+qi2=q-buhuhtan+daarhrhtan-dqqvhvhtan-dbb1)(141221--+rnnvnun上式称为单球面折射公式，它描述了单球面折射在近轴光线条件下物距与像距的关系。公式中n1为入射光线所在介质的折射率，n2为折射光线所在介质的折射率。注意1、单球面折射式(14-1)2、符号规则式14-1虽然是在n2n1、凸球面对着入射光线的条件下推导出来的，但它适应于一切凸凹球面。只是它必须遵守如下符号规则：1)物距u：实物取正号，虚物取负号。2)像距v：实像取正号，虚像取负号。3)曲率半径r：凸球面对着入射光线时取正号；凹球面对着入射光线时取负号；平面的曲率半径r=∞。3、物和像的虚实1)实物：发散的入射光束的顶点为实物(不论是否有实际光线通过该点)O球面O球面顶点没有实际光线通过2)虚物：会聚的入射光束的顶点为虚物(永远没有实际光线通过该点)O球面3)实像：会聚的折射光束的顶点为实像。I球面4)虚像：发散的折射光束的顶点为虚像。I球面4、焦度(光焦度)表示。为光焦度，用称表征球面的光学性质，与物距、像距无关。它，仅与折射率和半径有关）右端式（-rnn121-142)(1412--rnn单位：屈光度，用D表示，１D=1m-15、焦点与焦距1)第一焦点和第一焦距将一物点置于主光轴上某一点F1时，若发出的光线经折射后成为平行于主光轴的光线，F1称为第一焦点。F1到球面顶点的距离称为第一焦距，用f1表示。将u=f1，v=∞代入14-1式，有rnnnfn12211-+3)(14--rnnnf12112)第二焦点和第二焦距平行于主光轴的光线经球面折射后成像于主光轴上一点F２，则F２称为第二焦点。F２到球面顶点的距离称为第二焦距，用f２表示。将u=∞，v=f2代入14-1式，有rnnfnn12221-+)414(22--rnnnf123)实焦点与虚焦点当f1、f2为正值时，F1、F2为实焦点；当f1、f2为负值时，F1、F2为虚焦点。4)单球面的两焦点不对称由式14-3和14-4可知：)514(2121-nnff∵n1≠n2∴f1≠f2单球面折射的两个焦距不相等。5)焦度与焦距的关系12rnn-rnnnr,fnnnf又12221211--)614(2211-fnfn【例14-1】圆柱形玻璃棒(n=1.5)的一端是半径为2cm的凸球面。1)求棒置于空气中时，在棒的轴线上距离棒外端8cm的物点所成像的位置。2)若将此棒放入水(n=1.33)中时，物距不变，像距应是多少？(设棒足够长)解：1)置于空气中:u=8cm，n1=1.0，n2=1.5，r=2cm得代入公式1221rnnvnun-[phone]..v..-+解得v=12cm2)置于水中时：u=8cm，n1=1.33，n2=1.5，r=2cm代入公式得233151518331..v..-+解得v=－18.5cm【补充例题】一条鱼在水面下1米处，水的折射率n=1.33，若在鱼的正上方观察，其像的位置在哪里？解：u=1m，n1=1.33，n2=1，r=∞得代入公式1221rnnvnun-+011331+v.解得v=－0.752m像为虚像，位置水面下0.752米处。二、共轴球面系统两个或两个以上的折射球面的曲率中心在一条直线上，组成共轴球面系统。各曲率中心所在直线称为共轴球面系统的主光轴。C1C2C3C4n1n2n3n4n51．逐个球面成像法前一个球面出射的光束对后一个球面来说是入射光束。所以前一个球面所成的像就是后一个球面的物，依次应用单球面折射公式，逐个对各球面成像。最终求出通过整个系统所成的像。【例14-2】玻璃球(n=1.5)半径为r=10cm，一点光源放在球前40cm处，求近轴光线通过玻璃球后所成的像。40cmn=1.5n=1r=10cm解：第一球面成像：u1=40cm，r1=10cm，n1=1，n2=1.51121211rnnvnun-+代入公式10151514011-+.v.解得v1=60cmu1v1第二球面成像：u2=-(v1-2r)=-40cm，n1=1.5，n2=1，r2=-10cm2122221rnnvnun-+代入公式得v2=11.4cm2．像与物的关系用逐个球面成像法求解共轴系统成像问题时，关键要弄清楚上一个球面的像是下一球面的实物还是虚物。当成像是从左到右依次进行时，如果上一个球面所成像(虚、实)的位置在下一个球面的左边，对下一个球面来说，该像是实物，u0；反之，如果上一个球面所成像(实)的位置在下一个球面的右边，对下一个球面来说，该像是虚物，u0。就是说，若上一球面成一虚像，则对下一球面来说，它一定是实物。若上一球面所成的像为实像，则要根据此像的像距与上、下两球面之间的距离进行比较，判断是实物还是虚物。如果用v1表示上一个球面像距，u2表示下一个球面的物距，d表示上下两球面之间的距离，则u2=d-v1上式适用于所有的情况，其中，u2、v1都带符号。例如，求得上一球面像距v1=-5cm(成一虚像)，上下两球面之间的距离d=10cm，则u2=d-v1=10-(-5)=15cm(实物)第二节透镜(lens)把玻璃等透明物质磨成薄片，其表面都为球面或有一面为平面，即组成透镜，如下图所示。双凸平凸弯凸双凹平凹弯凹1r+2r-1r2r-1r-2r-1r-2r+2r1r-2r-1r-中间部分比边缘部分厚的透镜叫凸透镜。中间部分比边缘部分薄的透镜叫凹透镜。一、薄透镜成像公式透镜的厚度(组成透镜的两个球面顶点之间的距离)与球面的曲率半径相比可以忽略，则称为薄透镜。1．薄透镜成像公式设薄透镜两个球面的曲率半径为r1、r2，折射率为n，透镜两侧的折射率分别为n1、n2。主光轴上有一物点O，物距为u。un1n2r1r2nO第一球面成像：u1=u1111rnnvnun-+第二球面成像：u2=-v1，v2=v2221rnnvnvn-+-两式相加得7)(14221121----+rnnrnnvnun上式为薄透镜成像公式2．符号规则公式(14-7)适应于所有形状的凸、凹薄透镜，符号规则与单球面折射公式相同。3．焦度2211rnnrnn---4．焦距12211111----rnnrnnnf12211221----rnnrnnnf5．几个特例1)透镜两侧介质相同，n1=n2=n0)714()11(112100arrnnnvu---+2)透镜两侧为真空时，n1=n2=1)714()11)(1(1121brrnvu---+焦度：)11)(1(21rrnΦ--高斯公式：)914(111-+fvu空气中的薄透镜焦度与焦距的关系：f1单位：1屈光度=1米-1=100度8)(1411)1(1211----rrnfff2焦距：二、薄透镜组合两个或两个以上的薄透镜组成的共轴球面系统，称为薄透镜组合，简称透镜组。下面研究透镜组成像问题。设两个薄透镜紧密贴合在一起，两透镜的焦距分别为f1和f2对于透镜组成像问题，可采用逐个透镜成像法uL1L2第一透镜成像：u1=u，应用高斯公式得11fvu111+第二透镜成像：u2=-v1，v2=v2111fvv+-1两式相加，得21111ffvu++1设透镜组的焦距为f，则2111fff+12211111fff，，21+可见，透镜组的焦度等于各透镜的焦度之和，这一关系常用于近视眼配镜时确定所需镜片的度数。【例14-3】凸透镜L1和凹透镜L2的焦距分别为20cm和40cm，L2在L1右侧40cm处。在L1左边30cm处放置某物体，求经过透镜组后所成的像。30解：L1成像：u1=30cm，f1=20cm由高斯公式，得20113011+v解得v1=60cmL1L2f1=20f2=-404030L2成像：u2=40cm-v1=-20cm，f2=-40cm由高斯公式，得40112012-+-v解得v2=40cm三、厚透镜(thicklens)若透镜的厚度(组成透镜的两个球面的顶点之间的距离)较大，研究其成像规律就不能象薄透镜那样忽略了。解决厚透镜的成像问题，可采用逐个球面成像法。1．利用逐个球面成像法【例题】如图所示，一个半球形状的玻璃(n=1.5)厚透镜置于空气中，球面的曲率半径R=10cm，主光轴上有一物点距离半球10cm。试求所成像。10cmR=10cmn=1.5解：1)平面折射成像：u1=10cm，n1=1，n2=1.5，r1=∞1121211rnnvnun-+代入公式得v1=-15cm2)球面折射成像：u2=R-v1=25cm，n1=1.5，n2=1，r2=-10cm2122221rnnvnun-+代入公式得v2=-100cm2．三对基点引入基点(焦点、主点、节点)的概念，可用于进行几何作图成像，类似于中学学过的薄透镜的几何作图成像。1)两焦点F1、F2将点光源放于主光轴上某点F1，若发出的光线经厚透镜后成为平行于主光轴的平行光线，则F1称为厚透镜的第一焦点。若平行于主光轴的光线，经厚透镜后交于主光轴上某点F2，则F2点称为厚透镜的第二焦点。F1F2图14-7a两焦点2)两主点H1、H2通过F1的入射光线的延长线与经过整个系统折射后的出射光线或反向延长线相交于B1点。过B1点作垂直于主光轴的平面，交主光轴于H1点，H1点称为系统的第一主点，该平面称为第一主平面。平行于主光轴的入射光线的延长线与经整个系统折射后的出射光线的反向延长线相交于A2点，过A2点作垂直于主光轴的平面，交主光轴于H2点，H2点称为系统的第二主点，该平面称为第二主平面。F1F2H1H2图14-7b两主点3)两节点N1、N2在主光轴上可以找到两点N1、N2，如图14-8所示，通过N1的入射光线，以相同的方向从N２射出。N1、N2分别称为系统的第一节点和第二节点。就是说，通过第一节点N1的入射光线不改变方向，仅发生平移，由第二节点N２射出。图14-8两节点N2N13．作图法1)平行于主光轴的光线，在第二主平面折射后通过第二焦点F2；图14-9作图法F1F2H1H2N1N22)通过第一焦点F1的光线，在第一主平面折射后，平行于主光轴射出。3)通过第一节点N1的光线，从第二节点N2平行于入射光线射出。四、柱面透镜1．柱面透镜的形状图14-10柱面透镜图14-11柱面透镜成像柱面透镜水平剖面与凸透镜的剖面相同，在这个平面内，对光线有会聚作用；而竖直剖面与平板玻璃剖面相同，对光线没有会聚作用。所以，一个点光源经过此柱面透镜所成的像为一条竖直的直线。五、透镜的像差1．球面像差一个物点发出的远轴光线经透镜折射后，与近轴光线所成的像不重合，如图14-12(a)所示，这种像差称为球面像差，简称球差。球面像差导致点光源成像不是一个点，而是一个圆斑。减小球差最简单的方法是在透